Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Определение и существование интеграла

6.1. Определение. Пусть [а, b] - заданный сегмент. Разбиением Р сегмента [а, b] мы называем конечное множество точек х0, х1, ... ,хn, где

a = x0≤x1≤x2≤...≤xn-1≤xn = b.

Мы будем писать

Δxi = xi - xi-1 (i = 1, ..., n).

Пусть теперь f - ограниченная вещественная функция, определенная на [а, b]. Каждому разбиению Р сегмента [а, b] соответствуют числа

Mi = sup f(x) (xi-1≤x≤xi),
mi = inf f(x) (xi-1≤x≤xi),


и, наконец,

(1)


(2)


где верхняя и нижняя грани берутся по всем разбиениям Р сегмента [а, b]. Левые части равенств (1) и (2) называются соответственно верхним и нижним интегралами Римана функции f по сегменту [а, b].

Если верхний интеграл равен нижнему, то мы будем говорить, что функция f интегрируема по Риману на сегменте [а, b] и писать f∈ (иными словами, обозначает множество всех функций, интегрируемых по Риману), а общее значение величин (1) и (2) будем обозначать

(3)


или

(4)


Это - интеграл Римана от функции f по сегменту [а, b]. Поскольку f ограничена, существуют два числа m и М, такие, что


Значит, при любом разбиении Р


так что числа L(P, f) и U(P, f) образуют ограниченное множество. Это показывает, что верхний и нижний интегралы определены для любой ограниченной функции f. Вопрос об их совпадении и, значит, вопрос об интегрируемости функции f оказывается более тонким. Вместо того чтобы исследовать его отдельно для интеграла Римана, мы сейчас рассмотрим более общую ситуацию.

6.2. Определение. Пусть α - монотонно возрастающая функция на [а, b] (поскольку α(а) и α(b) конечны, функция а ограничена на [а, b]). Если Р - какое-нибудь разбиение сегмента [а, b], то положим


Ясно, что Δαi≥0. Для любой вещественной функции f, ограниченной на [а, b], положим



где Mi и mi имеют тот же смысл, что и в определении 6.1. Положим, по определению,

(5)


(6)


где верхняя и нижняя грани берутся снова по всем разбиениям. Если левые части равенств (5) и (6) равны между собой, то их общее значение обозначается через

(7)


или иногда через

(8)


Это - интеграл Римана-Стильтьеса (или просто интеграл Стильтьеса) от функции f относительно функции а по сегменту [а, b].

Если интеграл (7) существует, т. е. если (5) и (6) равны между собой, то мы будем говорить, что f интегрируема относительно а в смысле Римана, и писать f∈(α).

Полагая α(х) = х, мы приходим к выводу, что интеграл Римана - это частный случай интеграла Римана-Стильтьеса. Подчеркнем, однако, что в общем случае функция а не обязана быть даже непрерывной.

Несколько слов по поводу обозначений. Мы предпочитаем обозначение (7) обозначению (8), так как фигурирующая в (8) буква х ничего не добавляет к содержанию записи (7). Совершенно несущественно, какую букву мы употребляем для обозначения так называемой "переменной интегрирования". Так, например, (8) - это то же самое, что


Интеграл зависит от f, α, а и b, но не от переменной интегрирования, которую вполне можно опустить.

Роль переменной интегрирования совершенно аналогична роли индекса суммирования: два символа


означают одно и то же, а именно сумму c12+...+cn.

Разумеется, не произойдет ничего страшного, если переменная интегрирования будет написана, а в некоторых случаях даже удобно ее писать.

Теперь мы исследуем вопрос о существовании интеграла (7).

Не повторяя этого каждый раз, мы будем считать функцию f вещественной и ограниченной, а функцию α - монотонно возрастающей на [а, b], и если исключена возможность недоразумений, мы будем писать вместо

6.3. Определение. Мы будем говорить, что разбиение Р* является измельчением разбиения Р, если Р*⊃P (т. е. если каждая точка разбиения Р служит также точкой разбиения Р*). В случае, когда заданы два разбиения P1 и Р2, мы будем говорить, что Р* есть их общее измельчение, если P* = P1∪P2.

6.4. Теорема. Если Р* - измельчение разбиения Р, то

(9)


и

(10)


Доказательство. Чтобы доказать неравенство (9), допустим сначала, что Р* содержит ровно на одну точку больше, чем Р. Обозначим эту новую точку через х* и допустим, что xi-1≤x*≤xi, где xi-1 и xi - две последовательные точки разбиения Р. Положим

ω1 = inf f(x) (xi-1≤x≤x*),
ω2 = inf f(x) (x*≤x≤xi),

Ясно, что ω1≥mi и ω1≥mi, где, как и прежде,

mi = inf f(x) (xi-1≤x≤xi).

Значит,

L(P*, f, α)-L(P, f, α) = ω1[α(x*)-α(xi-1)] + ω2[α(xi)-α(x*)] - mi[α(xi)-α(xi-1)] = (ω1 - mi)[α(x*)-α(xi-1)] + (ω2 - mi)[α(xi)-α(x*)]≥0.

Если Р* содержит на k точек больше, чем Р, то мы повторим только что проведенное рассуждение k раз и получим (9). Доказательство неравенства (10) аналогично.

6.5. Теорема.

Доказательство. Пусть Р* - общее измельчение двух разбиений P1 и Р2. По теореме 6.4

L(P1, f, α)≤L(P*, f, α)≤U(P*, f, α)≤U(P2, f, α).

Значит,

(11)


Считая Р2 фиксированным и вычисляя верхнюю грань по всем Р1, получаем из (I1)

(12)


Вычисляя нижнюю грань по всем Р2 в (12), получаем утверждение теоремы.

6.6. Теорема. f∈(α) на [а, b] тогда и только тогда, когда для любого ε>0 существует разбиение Р, такое, что

(13)


Доказательство. При любом Р имеем


Поэтому из (13) следует, что


Значит, если при любом ε>0 неравенству (13) удовлетворяет некоторое разбиение Р, то


т.е. f∈(α)

Допустим теперь, что f∈(α) и задано число ε?№62ж0. Тогда существуют разбиения Р1 и Р2, такие, что

(14)


(15)


Выберем в качестве Р общее измельчение разбиений P1 и Р2. Тогда, как показывает теорема 6.4 вместе с неравенствами (14) и (15),


для такого разбиения Р выполняется неравенство (13).

Теорема 6.6 позволит нам доказать интегрируемость двух важных классов функций. Но сначала введем еще одно определение.

6.7. Определение. Для любого разбиения Р положим


(1≤i≤n)

и назовем μ(Р) диаметром разбиения Р.

6.8. Теорема. Если функция f непрерывна на [а, и], то f∈(α) на [а, и]. Более того, каждому ε?№62ж0 отвечает такое δ>0, что

(16)


для любого разбиения Р = {х0, х1, ..., хn} сегмента [а, b], удовлетворяющего условию μ(P)<δ, и при любом выборе точек t1 в сегменте [xi-1, xi].

Доказательство. Пусть задано число ε>0, и пусть η>0 таково, что

[α(b)-α(a)]η<ε.

Поскольку f равномерно непрерывна на [a, b] (теорема 4.19), существует такое δ>0, что

(17)


если |х -t|<δ и х∈[а, b], t∈[a, b].

Выберем Р так, что μ(P)<δ. Тогда из неравенства (17) следует, что

Mi-mi≤η (i = 1, ..., n).

Значит,


Итак, по теореме 6.6, f∈(α).

Неравенство (16) также доказано, так как оба числа лежат между U (Р, f, α) и L(P, f, α).

6.9. Теорема. Если f монотонна на [а, b], а α непрерывна на [а, b], то f∈(α) (мы по-прежнему предполагаем, разумеется, что α монотонна).

Доказательство. Пусть задано ε>0. Для любого положительного n выберем разбиение Р так, что


(i = 1, .., n).

Это возможно, так как функция α непрерывна (теорема 4.23). Предположим теперь, что f монотонно возрастает (в другом случае доказательство аналогично). Тогда

Mi = f(xi), mi = f(xi-1) (i = 1, ..., n),

так что


если n достаточно велико. По теореме 6.6 f∈(α).

Теперь мы докажем некоторые элементарные свойства интеграла Стильтьеса.

6.10. Теорема, (а) Если f1(α) и f2(α) на [а, b], то f1+f2(α), cf∈(α), какова бы ни была константа с, и



(b) Если f1(x)≤f2(x) на [а,b], то


(c) Если f∈(α) на [а, b] и если а<с<b, то f∈(α) на [а, с] и на [с, b] и


(d) Если f∈(α) на [a, b] и если |f(x)|≤M на [a, b], тo


(e) Если f∈1) и f∈2), то f∈12) и


если f∈(α) и с - положительное число, то f∈(cα) и


Доказательство. Если f = f1 + f2, a Р - какое-нибудь разбиение сегмента [а, b], то

(18)

L(P, f1, α) +L(P, f2, α)≤L(P, f, α)≤U(P, f, α)≤U(P, f1, α) + U(P, f2, α).

Если f1(α) и f2(α), то любому числу ε>0 отвечают такие разбиения Pj (j = 1, 2), что

U(Pj, fj, α) - L(Pj, fj, α)<ε.

Это неравенство сохранится, если Р1 и Р2 заменить их общим измельчением Р. Тогда из (18) следует, что

U(P, f, α) - L(P, f, α)<2ε,

а это значит, что f∈(α).

Для этого же разбиения Р имеем

U(P, fj, α) <∫fjdα + ε (j = 1, 2);

таким образом, из (18) следует, что

∫fdα ≤ U(P, f,α)<∫f1dα + ∫f2dα + 2ε

Ввиду произвольности ε мы приходим к неравенству

(19)

∫fdα≤ ∫f1dα + ∫f2dα + 2ε.

Если заменить f1 и f2 в (19) функциями -f1 и -f2, то неравенство изменится на обратное (ибо, как легко проверить, ∫(-f)dα = -∫fdα); тем самым доказано требуемое равенство.

Доказательства остальных утверждений теоремы 6.10 совершенно аналогичны. В части (с) все дело в том, что, переходя к измельчениям при приближении интеграла ∫fdα, мы можем ограничиться лишь разбиениями, содержащими точку с.

6.11. Теорема. Пусть f∈(α) на [a, b], m≤f≤M, φ непрерывна на [m, М] и h(x) = φ(f(x)) на [a, b]. Тогда h∈(α) на [a, b].

Доказательство. Выберем ε<0. Ввиду того что φ равномерно непрерывна на [m, М], существует δ>0, такое, что δ<ε и если и s, t∈ [m, M].

Поскольку f∈(α), существует разбиение Р = {х0, х1, ..., хn} сегмента [а, b], такое, что

(20)

U(P, f, α) - L(P, f, α)<δ2.

Пусть Mi и mi имеют тот же смысл, что и в определении 6.1, и пусть М*i, m*i - аналогичные величины для функции h. Разобьем числа 1, ..., n на два класса: i∈A, если Мi-mi<δ; i∈B, если Mi-mi≥δ.

Для i∈A, в силу выбора δ, оказывается, что Мi-mi≤ε.

Для i∈B имеем Мi-mi≤2K, где K = sup|φ(t)|, m≤t≤M.

Согласно (20), имеем

(21)


так что Δαj<δ. Следовательно,


Теперь из теоремы 6.6 следует, что h∈(α), так как число е произвольно.

Замечание. Эта теорема подсказывает такой вопрос: какие же функции интегрируемы по Риману? Ответ дается в теореме 10.33(b).

6.12. Теорема. Если f∈(α) и g∈(α) на [а, b], то

(a) fg(α);

(b)

Доказательство. Полагая φ(t) = t2 и применяя к φ теорему 6.11, мы видим, что f2(α), если f∈(α). Тождество

4fg = (f + g)2 - (f - g)2

завершает доказательство утверждения (а).

Полагая φ(t) = |t| и применяя теорему 6.11, мы точно так же убеждаемся в том, что |f|∈(α). Выберем с = ± 1 так, что

c∫fdα≥0.

Тогда так как cf≤|f|.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru