НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

Теорема Тейлора

5.15. Теорема. Допустим, что f - вещественная функция на [а, b], n - положительное целое число, f(n-1) непрерывна на [а, b], f(n)(t) существует в любой точке t∈(a, b). Пусть а, р - различные точки сегмента [а, b]. Положим

(23)


Тогда существует точка х, лежащая между α и β, такая, что

(24)


При n = 1 это утверждение превращается в теорему о среднем значении. В общем случае теорема показывает, что функцию f можно приблизить многочленом степени n-1; равенство (24) позволяет оценить погрешность, если известна верхняя граница величины |fn(x)|.

Доказательство. Пусть М - число, определяемое равенством

(25)


и пусть

(26)

g(t) = f(t) - P(t) - M(t-α)n (a≤t≤b).

Мы должны показать, что n!M = fn(x) при некотором х, лежащем между α и β. Согласно (23) и (26),

(27)

g(n)(t) = f(n)(t) - n!M (a<t<b).

Значит, доказательство будет закончено, если мы проверим, что g(n)(х) = 0 при некотором х, лежащем между α и β.

Поскольку P(k)(a) = f(k)(a) при k = 0,...,n-1, мы имеем

(28)

f(α) = g'(α) = ... = g(n-1)(α) = 0.

Число М было выбрано так, что g(β) = 0; поэтому, согласно теореме о среднем, g'(x1) = 0 при некотором хи лежащем между α и β. Так как g'(α) = 0, то подобным же образом мы заключаем, что g"(х2) = 0. при некотором х2, лежащем между α и x1. После n шагов мы придем к выводу, что g(n)(xn) = 0 при некотором хn, лежащем между α и хn-1, т. е. между α и β.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru