Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Правило Лопиталя

Следующая теорема часто бывает полезной при вычислении пределов.

5.13. Теорема. Пусть f и g вещественны и непрерывны в интервале (а, b) и g'(х)≠0 при всех х∈(а, Ь), где -∞≤a<b≤+∞. Пусть

(13)


при x→a.

Если

(14)

f(x)→0 и g(x)→0 при x→a,

или если

(15)

g(x)→+∞ при x→a,

то

(16)


при х→а.

Аналогичное утверждение, конечно, верно и тогда, когда х→b или когда в (15) g(x)→-∞. Заметим, что сейчас мы используем понятие предела в расширенном смысле в соответствии с определением 4.33.

Доказательство. Сначала предположим, что -∞≤A<+∞. Выберем вещественное число q, такое, что A<q, а затем выберем r так, чтобы выполнялось неравенство А<r<q. Согласно (13), существует точка с∈(а, b), такая, что при а<x<c имеем

(17)


Если а<x<y<c, то, как показывает теорема 5.9, существует точка t∈(х, у), такая, что

(18)


Допустим, что выполнено условие (14). Устремляя в (18) х к а, мы видим, что

(19)


(a<y<c).

Теперь допустим, что выполнено условие (15). Считая у в формуле (18) фиксированным, мы можем выбрать такую точку c1∈(a, у), что g(x)>g(у) и g(x)>0, если a<x<c1. Умножая (18) на [g(x) - g(y)]/g(x), мы получим

(20)


(a<x<c1).

Если в (20) устремить х к а, то, как показывает (15), можно найти точку с2∈(a, c1), такую, что

(21)


Итак, неравенства (19) и (21) показывают, что для любого q, подчиненного единственному условию A<q, найдется точка с2∈(а, b), такая, что f(x)/g(х)<q, если a<x<c2.

Точно таким же способом в том случае, когда - ∞<А≤+ ∞, а р выбрано так, что p<А, мы найдем точку с3∈(а, b), такую, что

(22)


Из этих двух утверждений следует соотношение (16).

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru