Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Монотонные функции

Теперь мы изучим функции, которые нигде не убывают (или нигде не возрастают) на данном интервале.

4.28. Определение. Пусть f - вещественная функция на интервале (а, b). Говорят, что f монотонно возрастает на (а, b), если при а<х<у<b имеем f(x)≤f(y). Обращая последнее неравенство, мы получим определение монотонно убывающей функции. Класс монотонных функций состоит из убывающих и из возрастающих функций.

4.29. Теорема. Пусть f монотонно возрастает на интервале (а, b). Тогда f{x-\-) и f (х-) существуют в каждой точке x∈(а, b). Точнее,

(25)


Кроме того, если a<x<y<b, то

(26)


Аналогичные результаты, очевидно, верны и для монотонно убывающих функций.

Доказательство. По предположению, множество чисел f(t), где a<t<x, ограничено сверху числом f(x) и потому имеет верхнюю грань, которую мы обозначим через А. Очевидно, что A≤f(x). Мы должны показать, что A = f(x-).

Пусть задано ε>0. Из определения числа А следует, что существует число δ>0, такое, что а<x-δ<x и

(27)


Поскольку f монотонна, имеем

(28)


Комбинируя неравенства (27) и (28), мы получаем


Значит, f(x-) = A.

Вторая часть неравенства (25) доказывается точно таким же способом.

Далее, если а<х<у<b, то из (25) следует, что

(29)


Последнее равенство получится, если применить (25) к (а, у) вместо (а, b).

Подобным же образом

(30)


Сравнение равенств (29) и (30) дает неравенство (26).

Следствие.Монотонная функция не имеет разрывов второго рода.

Из этого следствия вытекает, что монотонная функция может иметь разрывы только в конечном или счетном множестве точек. Вместо того чтобы сослаться на общую теорему, доказательство которой намечено в упражнении 4, мы дадим здесь простое доказательство, применимое к монотонным функциям.

4.30. Теорема. Пусть функция f монотонна на интервале (а, b). Тогда множество точек интервала (а, b), в которых f разрывна, не более чем счетно.

Доказательство. Допустим для определенности, что f возрастает, и пусть Е - множество точек, в которых f разрывна.

Каждой точке х∈Е сопоставим рациональное число r(x), такое, что


Ясно, что r(х1)≠r(х2), если х1≠х2, так как при x1<x2 мы имеем f(x1+)≤f(x2-).

Таким образом установлено взаино однозначное соответствие между множеством E и подмножеством множества всех рациональных чисел. Это последнее множество, как мы знаем, счетно.

4.31. Замечание. Нужно отметить, что точки разрыва монотонной функции не обязаны быть изолированными. В самом деле, для любого счетного подмножества E интервала (a, b), которое может быть даже всюду плотным, можно построить функцию f, монотонную на (a,b), имеющую разрыв в каждой точке множества Е и непрерывную во всех остальных точках интервала (a,b).

Чтобы доказать это, расположим точки множества Е в последовательность {xn}, n = 1, 2, 3, ... . Пусть {cn} - последовательность положительных чисел, такая, что ряд ∑ cn сходится. Положим

(31)


Для вычисления этой суммы нужно сложить все сn, индексы которых таковы, что xn<x. Если слева от х нет точек xn, то сумма пуста и, следуя обычному соглашению, мы считаем ее равной нулю. Поскольку ряд (31) сходится абсолютно, порядок, в котором выписываются его члены, не существен.

Мы предоставляем читателю проверку следующих свойств функции f:

(a) f монотонно возрастает на (а, b);

(b) f разрывна в каждой точке множества Е; действительно,

(c) f непрерывна во всех остальных точках интервала (а, b). Более того, нетрудно видеть, что f(х -) = f(x) во всех точках

интервала (а, b). Если функция f удовлетворяет этому условию, то мы будем говорить, что она непрерывна слева. Если бы в (31) суммирование производилось по всем индексам л, для которых хn≤х, то мы имели бы f(х+) = f(x) во всех точках интервала (а, b), т. е. f была бы непрерывной справа.

Функции такого типа можно строить и другим методом; пример читатель найдет в упражнении 5 гл. 6.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru