Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Разрывы функций

Если х - точка из области определения функции f, в которой эта функция не является непрерывной, то мы будем говорить, что f разрывна в х или что f имеет разрыв в х. Если функция f определена на интервале или на сегменте, то удобно выделить разрывы двух типов. Прежде чем произвести эту классификацию, мы должны определить правосторонний и левосторонний пределы функции f в точке х, которые мы обозначим соответственно через f(x+) и f(x-).

4.25. Определение. Пусть функция f определена на интервале (а, b). Рассмотрим любую точку х, такую, что а≤x<b. Мы будем писать


если f(tn)→q при n→∞ для всех последовательностей {tn}, содержащихся в интервале (х, b), таких, что tn→x. Чтобы получить определение предела f(x-) (в случае а<x≤b), мы ограничимся последовательностями {tn}, содержащимися в (а, х).

Ясно, что в любой точке интервала (а, b) предел существует тогда и только тогда, когда


4.26. Определение. Пусть функция f определена на интервале (а, b). Если f разрывна в точке х и если f(x+) и f(x-) существуют, то говорят, что f имеет в точке х разрыв первого рода, или простой разрыв. В противном случае разрыв называется разрывом второго рода.

Возможны две разновидности простых разрывов: либо (в этом случае значение f(x) несущественно), либо

4.27. Примеры, (а) Положим


Тогда f имеет разрывы второго рода во всех точках х, так как ни f(x+), ни f(x-) не существуют.

(b) Положим


Тогда f непрерывна в точке x = 0 и имеет разрывы второго рода во всех остальных точках.

(c) Положим


Тогда f имеет простой разрыв в точке x = 0 и непрерывна во всех остальных точках интервала (-3, 1).

(d) Положим


Поскольку ни f(0+), ни f(0-) не существуют, функция f имеет разрыв второго рода в точке x = 0. Мы еще не доказали, что sinx - непрерывная функция. Если считать это утверждение верным, то из теоремы 4.7 следует, что f непрерывна в каждой точке х≠0.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru