Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Непрерывность и связность

4.22. Теорема. Если f - непрерывное отображение связного метрического пространства X в метрическое пространство Y, то множество f(X) связно.

Доказательство. Если f(X) несвязно, то существуют открытые непересекающиеся множества V и W в Y, оба пересекающиеся с f(X) и такие, что f(X)⊂W∪V. Поскольку f непрерывно, множества f-1(V) и f-1(W) открыты в X; они, очевидно, непусты и не пересекаются, а их объединение равно X. Но это значит, что X несвязно, вопреки предположению.

4.23. Теорема. Пусть f - непрерывная вещественная функция на сегменте [а, b]. Если f(a)<f(b) и если с -такое число, что f(a)<c<f(b), то существует точка x∈(a, b), такая, что f(x) = c.

Аналогичное утверждение справедливо, разумеется, и тогда, когда f(а)>f(b). Грубо говоря, эта теорема означает, что непрерывная вещественная функция принимает на сегменте все промежуточные значения.

Доказательство. По теореме 2.47 сегмент [а, b] связен. Значит, по теореме 4.22, f([a, b]) - связное подмножество пространства R1, и остается еще раз сослаться на теорему 2.47, чтобы наше утверждение было доказано.

4.24. Замечание. На первый взгляд может показаться, что верна теорема, обратная к теореме 4.23. Иначе говоря, можно подумать, что если для любых двух точек х12 и для любого числа с, лежащего между f(х1) и f(x2), найдется точка х∈(х1, х2), такая, что f(x) = c, то функция f должна быть непрерывной. Однако^пример 4.27 (d) показывает, что это не так.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru