Непрерывность и связность

4.22. Теорема. Если f - непрерывное отображение связного метрического пространства X в метрическое пространство Y, то множество f(X) связно.

Доказательство. Если f(X) несвязно, то существуют открытые непересекающиеся множества V и W в Y, оба пересекающиеся с f(X) и такие, что f(X)⊂W∪V. Поскольку f непрерывно, множества f^-1(V) и f^-1(W) открыты в X; они, очевидно, непусты и не пересекаются, а их объединение равно X. Но это значит, что X несвязно, вопреки предположению.

4.23. Теорема. Пусть f - непрерывная вещественная функция на сегменте [а, b]. Если f(a)<f(b) и если с -такое число, что f(a)<c<f(b), то существует точка x∈(a, b), такая, что f(x) = c.

Аналогичное утверждение справедливо, разумеется, и тогда, когда f(а)>f(b). Грубо говоря, эта теорема означает, что непрерывная вещественная функция принимает на сегменте все промежуточные значения.

Доказательство. По теореме 2.47 сегмент [а, b] связен. Значит, по теореме 4.22, f([a, b]) - связное подмножество пространства R¹, и остается еще раз сослаться на теорему 2.47, чтобы наше утверждение было доказано.

4.24. Замечание. На первый взгляд может показаться, что верна теорема, обратная к теореме 4.23. Иначе говоря, можно подумать, что если для любых двух точек х₁<х₂ и для любого числа с, лежащего между f(х₁) и f(x₂), найдется точка х∈(х₁, х₂), такая, что f(x) = c, то функция f должна быть непрерывной. Однако^пример 4.27 (d) показывает, что это не так.