Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Непрерывные функции

4.5. Определение. Пусть X и Y - метрические пространства, E⊂X, р∈Е и f отображает Е в Y. Тогда функция f называется непрерывной в точке р, если для любого ε>0 существует δ>0, такое, что


для всех точек х∈Е, для которых dX (x, р)<δ.

Если f непрерывна в каждой точке множества Е, то f называется непрерывной на Е.

Для того чтобы быть непрерывным в точке р, отображение должно быть определено в этой точке. (Ср. это с замечанием, следующим за определением 4.1.)

Если р - изолированная точка множества Е, то из нашего определения следует, что каждая функция /, определенная на Е, непрерывна в точке р. Действительно, каково бы ни было ε>0, можно указать δ>0, такое, что единственной точкой х∈Е, для которой dX (x, р)<δ, окажется x = р; тогда


4.6. Теорема.В ситуации, описанной в определении 4.5, предположим, что р - предельная точка множества Е. Функция f непрерывна в точке р тогда и только тогда, когда = f(p).

Доказательство. Это становится ясным, если сравнить определения 4.1 и 4.5.

Теперь перейдем к сложным функциям. Краткая формулировка следующей теоремы такова: непрерывная функция от непрерывной функции непрерывна.

4.7. Теорема.Пусть X, Y, Z - метрические пространства, E⊂X, f отображает множество Е в Y, g отображает множество значений f, а именно f(E), в Z и h - отображение множества Е в Z, определенное равенством


Если f непрерывно в точке р∈Е, a g непрерывно в точке f(р), то h непрерывно в точке р.

Доказательство. Пусть ε>0. Поскольку g непрерывно в точке f(p), существует η>00, такое, что

dZ (g(y), g(f(p)))<ε, если dY (y, f(p))<η и y∈f(E).

Поскольку f непрерывно в точке р, существует δ>0, такое, что

dY (f(x), f(р))<η, если dX (x, p)<δ и х∈Е.

Следовательно,


если dX (x, р)< и х∈Е. Таким образом, h непрерывно в точке р.

4.8. Теорема. Отображение f метрического пространства X в метрическое пространство Y непрерывно на X тогда и только тогда, когда множество f-1 (V) открыто в X для каждого открытого множества V из Y.

(Прообразы были определены в п. 2.4.) Это очень полезное свойство, характеризующее непрерывность.

Доказательство. Допустим, что f непрерывно на X; пусть V - открытое множество в Y. Мы должны показать, что каждая точка множества f-1(K) является его внутренней точкой. Итак, пусть р∈Х и f(p)∈V. Поскольку V открыто, существует ε>0, такое, что y∈V, если dY (f(p), y)<ε, а так как f непрерывно в точке р, то существует δ>0, такое, что dY (f(x), f(p))<ε, если dX (x, р)<δ. Таким образом, x∈f-1(V), как только dX (x, p)<δ.

Обратно, допустим, что множество f-1(V) открыто в X, каково бы ни было открытое множество V в Y. Зафиксируем р∈Х и ε>0, и пусть V - множество всех y∈Y, таких, что dY (y, f(p))<ε. Тогда V открыто, а поэтому и f-1 (V) открыто; значит, существует δ>0, такое, что x∈f-1(V), как только dX (p, x)<δ. Но если x∈f-1(V), то f(x)∈V, так что dY (f(x), f(p))<ε.

Доказательство закончено.

Обратимся теперь к комплекснозиачным и векторнозначным функциям и к функциям, определенным на подмножествах пространства Rk.

4.9. Теорема. Пусть f и g - комплексные непрерывные функции на метрическом пространстве X. Тогда f+g, fg и f/g непрерывны на X.

В последнем случае мы должны, конечно, предполагать, что g(x)≠0 при всех х∈Х.

Доказательство. В случае изолированной точки доказывать нечего. В случае предельней точки утверждение следует из теорем 4.4 и 4.6.

4.10. Теорема, (а) Пусть f1, ..., fk - вещественные функции на метрическом пространстве X, и пусть f - отображение пространства X в Rk, определенное равенством

(7)


Отображение f непрерывно тогда и только тогда, когда каждая из функций f1, ..., fk непрерывна.

(b) Если f и g - непрерывные отображения пространства X в Rk, то f+g и f-g непрерывны на X.

Функции f1, ..., fk называются компонентами отображения f. Отметим, что f+g - отображение в Rk, тогда как f-g - вещественная функция на X.

Доказательство. Утверждение части (а) следует из неравенств


при j = 1, ..., k. Часть (b) следует из (а) и теоремы 4.9.

4.11. Примеры. Если x1, ..., xk - координаты точки x∈Rk, то функции φi, определенные равенствами

(8)


непрерывны на Rk, так как неравенство


показывает, что в определении 4.3 можно положить δ = ε. Функции φi иногда называются координатными функциями. Повторное применение теоремы 4.9 показывает, что каждый одночлен

(9)


где n1,. ..., nk - неотрицательные целые числа, непрерывен в Rk. То же верно в отношении функций, отличающихся от (9) постоянным множителем, так как постоянные, очевидно, непрерывны. Следовательно, каждый многочлен Р, заданный равенством

(10)


непрерывен на Rk. Здесь коэффициенты сn1, ... nk - комплексные числа, n1, ..., nk - неотрицательные целые числа, а сумма содержит конечное число слагаемых.

Далее, всякая рациональная функция от х1, ... , xk, т. е. каждое отношение двух многочленов вида (10), непрерывна на Rk всюду, где знаменатель отличен от нуля.

Из неравенства треугольника легко получаем, что

(11)


Значит, отображение, ставящее в соответствие каждому х величину |х|, является непрерывной вещественной функцией на Rk.

Если f - непрерывное отображение метрического пространства X в пространство Rk и если φ определено на X равенством φ(р) = |f(p)|, то из теоремы 4.7 следует, что φ - непрерывная вещественная функция на X.

4.12. Замечание. Мы определили понятие непрерывности для функций, заданных на подмножестве Е метрического пространства X. Однако дополнение множества Е в X не играет никакой роли в этом определении, в отличие от определения пределов функций. Тем самым мы можем говорить о непрерывных отображениях одного метрического пространства в другое (а не об отображениях подмножеств). Это упрощает формулировки и доказательства некоторых теорем. Мы уже воспользовались этим в теоремах 4.8 - 4.10 и будем поступать так же в разделах, посвященных компактности и связности.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru