Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Упражнения

1. Доказать, что из сходимости последовательности {sn} следует сходимость последовательности {|sn|}. Верно ли обратное?

2. Вычислить

3. Пусть и


Доказать, что последовательность {sn} сходится и что sn<2 при n = 1, 2, 3, ... .

4. Найти верхний и нижний пределы последовательности {sn}, определенной следующим образом:




5. Для любых двух вещественных последовательностей {аn}, {bn} имеем


6. Исследовать поведение (сходимость или расходимость ряда) ∑an если

(a)

(b)

(c)

(d) для комплексных значений z.

7. Доказать, что из сходимости ряда ∑an следует сходимость ряда


если аn≥0.

8. Если ряд ∑an сходится и если {bn} - монотонная и ограниченная последовательность, то и ряд ∑anbn сходится.

9. Найти радиус сходимости каждого из следующих степенных рядов:

(a)


(b)


(c)


(d)


10. Допустим, что коэффициенты степенного ряда ∑anzn - целые числа, среди которых бесконечно много отличных от нуля.

Доказать, что радиус сходимости не превышает единицы.

11. Допустим, что ряд ∑an расходится, аn>0, и пусть sn = a1 + ... + аn. Доказать, что

(a) ряд расходится;

(b) ряд расходится;

(c) ряд сходится.

Что можно сказать о рядах ,

12. Допустим, что ряд сходится, аn>0, и положим


Доказать, что

(а) ряд расходится;

(б) ряд сходится.

13. Доказать, что произведение Коши двух абсолютно сходящихся рядов сходится абсолютно.

14. Пусть {sn} - какая-нибудь последовательность. Рассмотрим средние арифметические


Доказать, что из сходимости sn→s следует сходимость tn→s. Доказать, что существуют расходящиеся последовательности {sn}, которым соответствуют сходящиеся последовательности {tn}.

15. Определение 3.21 можно распространить на тот случай, когда ап принадлежат некоторому фиксированному пространству Rk. Абсолютная сходимость определяется как сходимость ряда ∑|an|. Показать, что теоремы 3.22, 3.23, 3.25, 3.33, 3.34, 3.42, 3.45, 3.47, 3.56 и 3.57 остаются верными в этом более общем случае (доказательства требуют лишь незначительных изменений).

16. Доказать следующий аналог теоремы 3.10 (b): если {Еn} - убывающая последовательность замкнутых множеств в полном метрическом пространстве X и если


то множество состоит ровно из одной точки.

17. Пусть X - полное метрическое пространство, a {Gn} - последовательность всюду плотных открытых подмножеств пространства X. Доказать теорему Бэра, состоящую в том, что множество непусто. (В действительности оно плотно в X.)

Указание. Найти стягивающуюся последовательность замкнутых окрестностей Еn, таких, что Еn⊂Gn, и применить упражнение 16.

18. Пусть {рn} и {qn} - последовательность Коши в метрическом пространстве X. Показать, что последовательность {d(pn, qn)} сходится.

Указание. Для любых m, n имеем d(pn, qn)≤d(pn, рm) + d(pm, qm) + d(qm, qn), следовательно, разность


мала, если m, n велики.

19. Пусть X - метрическое пространство. (а) Назовем две последовательности Коши {рn}, {qn} в X эквивалентными, если


Доказать, что этим определено отношение эквивалентности*.

* (Это означает, что 1) всякая последовательность Коши эквивалентна самой себе; 2) из эквивалентности пары последовательностей {pn}, {qn} следует эквивалентность пары {qn}, {pn}; 3) из эквивалентности пар {рn}, {qn} и {qn}, {rn} следует эквивалентность пары последовательностей {рn}, {rn}.- Прим. перев.)

(b) Пусть X* - множество всех полученных таким образом классов эквивалентности*. Если Р∈Х*, Q∈Х*, {рn}∈Р, {qn}∈Q, то положим, по определению,


* (Классом эквивалентности называется множество всех последовательностей Коши, эквивалентных какой-нибудь одной последовательности.- Прим. перев.)

В силу упражнения 18, этот предел существует. Показать, что число Δ(Р, Q) не изменится, если {рn} и {qn} заменить эквивалентными последовательностями, и что тем самым Δ - расстояние на X*.

(с) Доказать, что полученное метрическое пространство X* полно.

(d) Каждому р∈Х сопоставим последовательность Коши, все члены которой равны р; пусть Рр - тот элемент множества X*, который содержит эту последовательность. Доказать, что


при всех р, q∈X. Иными словами, отображение φ, заданное равенством φ(р) = Рр, есть изометрия (т. е. отображение, сохраняющее расстояния) пространства X в X*.

(е) Доказать, что φ(Х) всюду плотно в X* и что φ(Х) = Х*, если X полно.

В силу (d) можно отождествить X с φ(Х) и, таким образом, считать, что X погружено в полное метрическое пространство X*. Мы будем называть X*пополнением пространства X.

20. Пусть X - пространство рациональных чисел с метрикой Что служит пополнением этого пространства? (Ср. с упражнением 19.)

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru