Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Перестановки рядов

3.52. Определение. Пусть {kn}, n = 1, 2, 3, ..., - последовательность, в которой каждое положительное целое число встречается один и только один раз (т. е. {К} - взаимно однозначное отображение множества J на J, см. определение 2.4). Положим

a'n = akn (n = 1, 2, 3, ...);

мы будем говорить, что ряд ∑a'n является перестановкой ряда ∑an.

Если {sn}, {s'n} - последовательности частных сумм рядов ∑an, ∑a'n, то легко видеть, что, вообще говоря, эти две последовательности составлены из совершенно разных чисел. Мы, таким образом, приходим к задаче: выяснить, при каких условиях все перестановки сходящегося ряда сходятся и совпадают ли их суммы между собой.

3.53. Определение. Говорят, что ряд ∑an сходится безусловно, если каждая его перестановка сходится (к той же сумме). (Ср. с теоремой 3.57.)

3.54. Пример. Рассмотрим сходящийся ряд

(22)


и одну из его перестановок

(23)


в которой за двумя положительными членами всегда следует отрицательный. Если s - сумма ряда (22), то


Так как


при k≥1, то мы видим, что s'3<s6'<s9'< ..., где s'n есть n-я частная сумма ряда (23). Значит,


так что ряд (23) наверняка не сходится к s [мы предоставляем читателю проверку того, что ряд (23) тем не менее сходится].

Этот пример иллюстрирует следующую теорему, принадлежащую Риману.

3.55. Теорема. Пусть ∑an - неабсолютно сходящийся ряд вещественных чисел, и пусть α≤β - два данных числа (в расширенной системе вещественных чисел). Тогда существует перестановка ∑a'nc с частными суммами s'n, такая, что

(24)



Доказательство. Пусть


Тогда рn - qn = аn, pn≥0, qn≥0. Ряды ∑pn, ∑qn оба должны расходиться.

Действительно, если бы оба эти ряда сходились, то и ряд


сходился бы, вопреки предположению. Сходимость ряда ∑qn и расходимость ряда ∑pn (или наоборот) влечет за собой расходимость ряда ∑an, что снова противоречит предположению, так как


Обозначим теперь через Р1, Р2, Р3, ... неотрицательные члены ряда ∑an в том порядке, в каком они встречаются, и пусть Q1, Q2, Q3, ... - абсолютные величины отрицательных членов ряда ∑an также в их естественном порядке.

Ряды ∑Pn, ∑Qn отличаются от рядов ∑pn, ∑qn только нулевыми членами и поэтому расходятся.

Мы построим такие последовательности {mn}, {kn}, что ряд

(25)

P1 + ... +Pm1 - Q1 - ... - Qk1 + Pm1+1 + ... +Pm2 - Qk1+1 - ... - Qk2 + ... ,

очевидно, являющийся перестановкой ряда ∑an, удовлетворяет условию (24).

Выберем последовательности вещественных чисел {αn}, {βn} так, что αn→α, βn→β, αnn.

Пусть m1, k1 - наименьшие из таких целых чисел, что

P1 + ... +Pm11, P1 + ... +Pm1 - Q1 - ... - Qk11

пусть m2, k2 - наименьшие из таких целых чисел, что

P1 + ... +Pm1 - Q1 - ... - Qk1 + Pm1+1 + ... +Pm22 P1 + ... +Pm1 - Q1 - ... - Qk1 + Pm1+1 + ... +Pm2 - Qk1+1 - ... - Qk22

и т. д. Мы можем продолжить этот выбор, так как ряды ∑Pn и ∑Qn расходятся.

Если через хn, уn обозначить частные суммы ряда (25), последние члены которых Рmn, - Qkn, то


Мы видим, что xn→β, уn→α, так как Рn→0 и Qn→0 при n→∞.

Наконец, ясно, что никакое число, меньшее чем а или большее чем β, не может быть частичным пределом последовательности частных сумм ряда (25).

3.56. Теорема. Ряд ∑an сходится безусловно тогда и только тогда, когда он сходится абсолютно.

Доказательство. Допустим, что ряд ∑an сходится абсолютно. Пусть ∑a'n - его перестановка, обладающая частными суммами s'n. Для данного ε>0 существует целое число N, такое, что при m≥n≥N имеем

(26)


Выберем теперь р так, чтобы все целые числа 1, 2, ..., N содержались в множестве k1, k2, ...,kp (мы используем обозначения из определения 3.52). Тогда при n>р числа а1, ..., aN в разности sn - s'n уничтожаются, так что |sn - s'n|<ε в силу (26). Значит, последовательность {s'n} сходится к тому же пределу, что и {sn}.

Теперь допустим, что ряд ∑an сходится неабсолютно. Если an = xn + iyn, где хn и уn вещественны, то |an|≤|xn| + |yn|. Поскольку ряд ∑|an| расходится, то расходится один из рядов ∑xn и ∑yn. Таким образом, один из рядов ∑xn или ∑yn сходится неабсолютно. Согласно теореме 3.55, имеется такая перестановка, что либо ряд ∑x'n, либо ряд ∑y'n расходится, так что и ряд ∑a'n расходится.

Значит, ряд ∑an не является безусловно сходящимся.

Следующая теорема показывает, что в определении 3.53, не меняя его содержания, можно опустить фразу, заключенную в скобки.

3.57. Теорема.Если все перестановки ряда ∑an сходятся, то они сходятся к одной и той же сумме.

Доказательство. Либо ряд ∑an сходится абсолютно, и в этом случае ∑an сходится безусловно по теореме 3.56, либо ∑an не сходится абсолютно, и в этом случае по теореме 3.55 существует расходящаяся перестановка.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru