Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Сложение и умножение рядов

3.47. Теорема. Если ∑an = А и ∑bn = В, то

∑(an + bn) = A + B и ∑can = cA при любом c.

Доказательство. Пусть



Тогда


Ясно, что


так как



Доказательство второго утверждения даже проще.

Таким образом, два сходящихся ряда можно сложить почленно, и полученный ряд будет сходиться к сумме сумм этих двух рядов. Положение усложняется при рассмотрении произведения двух рядов. Сначала мы должны определить произведение. Это можно сделать разными способами; мы будем рассматривать так называемое произведение Коши.

3.48. Определение. Пусть заданы ряды ∑an и ∑bn. Положим


и назовем ряд ∑cn произведением двух данных рядов.

Это определение можно объяснить следующим образом. Если, взяв два степенных ряда ∑anzn и ∑bnzn, мы перемножим их подобно тому, как это делается в случае многочленов, и приведем подобные члены, то мы получим


Полагая z = 1, мы приходим к данному выше определению.

3.49. Пример. Если




и Аn→А, Вn→В, то совсем не ясно, будет ли последовательность {Сn} сходиться к АВ, так как неверно, что Сn = АnВn. Зависимость {Сn} от {Аn} и {Вn} очень сложна (см. доказательство теоремы 3.50). Сейчас мы покажем, что произведение двух сходящихся рядов может на самом деле расходиться.

Ряд


сходится (теорема 3.43). Составив произведение этого ряда с самим собой, мы получим


так что


Так как


то мы имеем


так что условие сn→0, необходимое для сходимости ряда ∑cn, не выполнено.

В связи со следующей теоремой, принадлежащей Мертенсу, заметим, что мы рассматривали в этом примере произведение двух неабсолютно сходящихся рядов.

3.50. Теорема.Допустим, что

(а) ряд сходится абсолютно,

(b)

(c)

(d)

Тогда


Это значит, что произведение двух сходящихся рядов сходится и сумма равна произведению сумм, если хотя бы один из этих двух рядов сходится абсолютно.

Доказательство. Положим


Тогда


Положим


Мы хотим показать, что Сn→АВ. Достаточно показать, что

(21)


так как АnB→АВ. Положим


Именно здесь мы используем условие (а).] Пусть задано ε>0. В силу (с), βn→0. Значит, можно выбрать N так, что при n≥N, и в этом случае


Оставляя N фиксированным и устремляя n к ∞, мы получим


так как ak→0 при k→∞. Отсюда и следует (21), так как ε произвольно.

Можно задать другой вопрос: обязательно ли сумма ряда ∑cn, в том случае, когда он сходится, равна АВ? Абель показал, что ответ на этот вопрос-утвердительный.

3.51. Теорема.Если ряды ∑an, ∑bn, ∑cn сходятся соответственно к А, В, С и сn = а0bn + ... + аnb0, то С = АВ.

Здесь не делается никаких предположений об абсолютной сходимости. Мы дадим простое доказательство (основанное на непрерывности степенных рядов) после теоремы 8.2.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru