НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

Абсолютная сходимость

Говорят, что ряд ∑an сходится абсолютно, если сходится ряд ∑|an|.

3.45. Теорема.Если ряд ∑an сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство. Утверждение следует из неравенства


и из критерия Коши.

3.46. Замечания. Для рядов с положительными членами абсолютная сходимость - это то же самое, что сходимость.

Если ряд ∑an сходится, а ряд ∑|an| расходится, то говорят, что ряд ∑an сходится неабсолютно. Например, ряд


сходится неабсолютно (теорема 3.43).

Признак сравнения, так же как и признаки Даламбера и Коши, на самом деле есть признак абсолютной сходимости, и поэтому не может дать никакой информации о неабсолютно сходящихся рядах. Для работы с последними иногда можно пользоваться суммированием по частям. В частности, степенной ряд сходится абсолютно внутри круга сходимости.

Мы увидим, что с абсолютно сходящимися рядами можно обращаться совершенно так же, как с конечными суммами. Мы можем перемножать их почленно и переставлять слагаемые, не меняя суммы. Но для неабсолютно сходящихся рядов это уже неверно, и при действиях с ними нужна большая осторожность.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь