НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

Суммирование по частям

3.41. Теорема.Пусть даны две последовательности {аn}, {bn}. Положим


Тогда, если 0≤p≤q, то

(20)


Доказательство. Имеем


и последнее выражение справа, очевидно, равно правой части равенства (20).

Формула (20), так называемая формула суммирования

по частям, полезна при исследовании рядов вида ∑anbn, в особенности, если последовательность {bn} монотонна. Сейчас мы дадим ее приложения.

3.42. Теорема.Допустим, что

(а) частные суммы Аn ряда ∑an образуют ограниченную последовательность;

(b) b0≥b1≥b2≥... ;

(c)

Тогда ряд ∑anbn сходится.

Доказательство. Выберем М так, что |An|≤M при всех n. Для данного ε>0 существует целое число N, такое, что bN≤(ε/2M). При N≤p≤q имеем


Сходимость следует теперь из критерия Коши. Заметим, что первое неравенство в написанной выше цепочке основано, конечно, на том, что bn - bn+1 ≥0.

3.43. Теорема.Допустим, что


Тогда ряд ∑cn сходится.

Ряд, для которого выполнено условие (b), называется "знакопеременным рядом"; сформулированная теорема была известна Лейбницу.

Доказательство. Применим теорему 3.42, положив an = (-1)n+1,

3.44. Теорема. Допустим, что радиус сходимости ряда ∑cnzn равен 1 и Тогда ряд ∑cnzn сходится в каждой точке окружности за исключением, возможно, течки z = 1.

Доказательство. Положим an = zn, bn = cn. Тогда выполнены условия теоремы 3.42, так как


если z≠1.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь