Степенные ряды

3.38. Определение. Пусть задана последовательность комплексных чисел {с_n}. Ряд

(19)

называется степенным рядом. Числа с_n называются коэффициентами этого ряда; здесь z - комплексное число.

Вообще говоря, этот ряд сходится или расходится в зависимости от выбора числа z. Точнее, с каждым степенным рядом связан круг, так называемый круг сходимости, такой, что ряд (19) сходится, если z лежит внутри этого круга, и расходится, если z находится вне круга (чтобы охватить все случаи, мы должны рассматривать плоскость как внутренность окружности бесконечного радиуса, а точку-как окружность нулевого радиуса). Поведение ряда на окружности круга сходимости может быть гораздо более разнообразным, и его нельзя так просто описать.

3.39. Теорема.Пусть задан степенной ряд ∑c_nzⁿ. Положим

(если α = 0, то R = + ∞ ; если α = + ∞ , то R = 0). Тогда ряд ∑c_nzⁿ сходится, если и расходится, если

Доказательство. Положим a_n = c_nzⁿ и применим признак Коши. Имеем

Замечание. Число R называется радиусом сходимости ряда ∑c_nzⁿ.

3.40. Примеры.(а) Для ряда ∑nⁿzⁿ имеем R = 0.

(b) Для ряда имеем R = +∞ (в этом случае проще применить признак Даламбера, чем признак Коши).

(c) Для ряда ∑zⁿ имеем R = 1. Если то ряд расходится, так как zⁿ не стремится к 0 при n→∞.

(d) Для ряда имеем R= 1. Этот ряд сходится во всех точках окружности круга сходимости, кроме z = 1. Это будет доказано в теореме 3.44.

(e) Для ряда имеем R = 1. Этот ряд сходится во всех точках окружности круга сходимости согласно признаку сравнения, так как если