Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Степенные ряды

3.38. Определение. Пусть задана последовательность комплексных чисел {сn}. Ряд

(19)


называется степенным рядом. Числа сn называются коэффициентами этого ряда; здесь z - комплексное число.

Вообще говоря, этот ряд сходится или расходится в зависимости от выбора числа z. Точнее, с каждым степенным рядом связан круг, так называемый круг сходимости, такой, что ряд (19) сходится, если z лежит внутри этого круга, и расходится, если z находится вне круга (чтобы охватить все случаи, мы должны рассматривать плоскость как внутренность окружности бесконечного радиуса, а точку-как окружность нулевого радиуса). Поведение ряда на окружности круга сходимости может быть гораздо более разнообразным, и его нельзя так просто описать.

3.39. Теорема.Пусть задан степенной ряд ∑cnzn. Положим



(если α = 0, то R = + ∞ ; если α = + ∞ , то R = 0). Тогда ряд ∑cnzn сходится, если и расходится, если

Доказательство. Положим an = cnzn и применим признак Коши. Имеем


Замечание. Число R называется радиусом сходимости ряда ∑cnzn.

3.40. Примеры.(а) Для ряда ∑nnzn имеем R = 0.

(b) Для ряда имеем R = +∞ (в этом случае проще применить признак Даламбера, чем признак Коши).

(c) Для ряда ∑zn имеем R = 1. Если то ряд расходится, так как zn не стремится к 0 при n→∞.

(d) Для ряда имеем R= 1. Этот ряд сходится во всех точках окружности круга сходимости, кроме z = 1. Это будет доказано в теореме 3.44.

(e) Для ряда имеем R = 1. Этот ряд сходится во всех точках окружности круга сходимости согласно признаку сравнения, так как если

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru