Другие признаки сходимости

3.33. Теорема (признак Коши). Пусть задан ряд ∑a_n. Положим Тогда

(a) если α<1, то ряд ∑a_n сходится;

(b) если α>1, то ряд ∑a_n расходится;

(c) существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых а = 1.

Доказательство. Если а<1, то можно выбрать β так, что α<β<1, а целое число N - так, что при n≥N [по теореме 3.17 (b)]. Иначе говоря, при n>N имеем

Ряд ∑βⁿ сходится, так как 0<β<1. Сходимость ряда ∑a_n следует теперь из признака сравнения.

Если а>1, то, снова по теореме 3.17, существует последовательность {n_k}, такая, что

Значит, для бесконечного множества значений n, так что условие a_n→0, необходимое для сходимости ряда ∑a_n, не выполнено (теорема 3.23).

Чтобы доказать (с), рассмотрим ряды

Для каждого из этих рядов α = 1 [по теореме 3.20 (с)], но первый расходится, а второй сходится.

3.34. Теорема (признак Даламбера). Ряд ∑a_n

(а) сходится, если

(b) расходится, если при n≥n₀, где n₀ - некоторое фиксированное число;

(c) существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых

Доказательство. Если условие (а) выполнено, то можно найти β<1 и целое число N, такие, что

при n≥N. В частности,

Это значит, что

при n≥N; таким образом (а) следует из признака сравнения, так как ряд ∑βⁿ сходится.

Если при n≥n₀, то легко видеть, что условие a_n→0 не выполнено, откуда и следует (b).

Чтобы доказать (с), мы снова рассмотрим ряды

Для каждого из них мы имеем

но первый расходится, а второй сходится.

3.35. Примеры. (а) Рассмотрим ряд

для которого

Признак Коши указывает на сходимость; признак Даламбера не позволяет сделать никаких заключений.

(b) То же самое верно в отношении ряда

где

но

3.36. Замечания. Признак Даламбера, как правило, легче применять, чем признак Коши, так как обычно легче вычислять частные, чем корни n-й степени. Однако признак Коши сильнее в следующем смысле: когда признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши тоже указывает на сходимость; если же признак Коши не позволяет сделать никаких заключений, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких заключений. Это следует из теоремы 3.37 и иллюстрируется приведенными выше примерами.

Ни один из этих двух признаков не является особенно тонким в отношении расходимости. В обоих расходимость выводится из того, что а_n не стремится к нулю при n→∞.

3.37. Теорема. Для любой последовательности {с_n} положительных чисел имеем

Доказательство. Мы докажем второе неравенство; доказательство первого совершенно аналогично. Положим

Если α = +∞, то доказывать нечего. Если α конечно, то выберем β>α. Существует целое N, такое, что

при n≥N. В частности, для любого p>0

(k = 0, 1, ..., p-1)

Перемножая эти неравенства, мы получаем

или

Значит,

так что

(18)

по теореме 3.20 (b). Поскольку неравенство (18) верно при любом β>α, имеем