Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Другие признаки сходимости

3.33. Теорема (признак Коши). Пусть задан ряд ∑an. Положим Тогда

(a) если α<1, то ряд ∑an сходится;

(b) если α>1, то ряд ∑an расходится;

(c) существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых а = 1.

Доказательство. Если а<1, то можно выбрать β так, что α<β<1, а целое число N - так, что при n≥N [по теореме 3.17 (b)]. Иначе говоря, при n>N имеем


Ряд ∑βn сходится, так как 0<β<1. Сходимость ряда ∑an следует теперь из признака сравнения.

Если а>1, то, снова по теореме 3.17, существует последовательность {nk}, такая, что


Значит, для бесконечного множества значений n, так что условие an→0, необходимое для сходимости ряда ∑an, не выполнено (теорема 3.23).

Чтобы доказать (с), рассмотрим ряды



Для каждого из этих рядов α = 1 [по теореме 3.20 (с)], но первый расходится, а второй сходится.

3.34. Теорема (признак Даламбера). Ряд ∑an

(а) сходится, если

(b) расходится, если при n≥n0, где n0 - некоторое фиксированное число;

(c) существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых


Доказательство. Если условие (а) выполнено, то можно найти β<1 и целое число N, такие, что


при n≥N. В частности,



..............................................................

Это значит, что


при n≥N; таким образом (а) следует из признака сравнения, так как ряд ∑βn сходится.

Если при n≥n0, то легко видеть, что условие an→0 не выполнено, откуда и следует (b).

Чтобы доказать (с), мы снова рассмотрим ряды



Для каждого из них мы имеем


но первый расходится, а второй сходится.

3.35. Примеры. (а) Рассмотрим ряд


для которого





Признак Коши указывает на сходимость; признак Даламбера не позволяет сделать никаких заключений.

(b) То же самое верно в отношении ряда


где



но


3.36. Замечания. Признак Даламбера, как правило, легче применять, чем признак Коши, так как обычно легче вычислять частные, чем корни n-й степени. Однако признак Коши сильнее в следующем смысле: когда признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши тоже указывает на сходимость; если же признак Коши не позволяет сделать никаких заключений, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких заключений. Это следует из теоремы 3.37 и иллюстрируется приведенными выше примерами.

Ни один из этих двух признаков не является особенно тонким в отношении расходимости. В обоих расходимость выводится из того, что аn не стремится к нулю при n→∞.

3.37. Теорема. Для любой последовательности {сn} положительных чисел имеем



Доказательство. Мы докажем второе неравенство; доказательство первого совершенно аналогично. Положим


Если α = +∞, то доказывать нечего. Если α конечно, то выберем β>α. Существует целое N, такое, что


при n≥N. В частности, для любого p>0


(k = 0, 1, ..., p-1)

Перемножая эти неравенства, мы получаем


или


Значит,


так что

(18)


по теореме 3.20 (b). Поскольку неравенство (18) верно при любом β>α, имеем


предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru