поэтому определение имеет смысл. На самом деле указанный ряд сходится очень быстро, и это позволяет нам вычислить е с большой точностью.
Интересно отметить, что е можно определить также при помощи другого предельного перехода; доказательство служит хорошей иллюстрацией того, как следует оперировать с пределами.
3.31. Теорема.
Доказательство. Пусть
По теореме о биноме
Значит, tn≤sn, так что
(14)
по теореме 3.19. Далее, если n≥m, то
Устремим n к ∞, оставляя m фиксированным. Получим
так что
Устремляя m к ∞, мы окончательно получаем
(15)
Теорема следует из (14) и (15).
Скорость, с которой сходится ряд можно оценить так: если sn обозначает то же, что и выше, то
так что
(16)
Таким образом, сумма s10 приближает число е с ошибкой, меньшей 10-7. Неравенство (16) представляет и теоретический интерес, так как оно позволяет очень легко доказать иррациональность числа е.
3.32. Теорема.Число е иррационально.
Доказательство. Допустим, что е рационально. Тогда e = p/q, где р, q - положительные целые числа. В силу (16),
(17)
Согласно предположению, q!e - целое число. Число q!(е - sq) также целое, поскольку
Так как q≥1, из (17) следует существование целого числа, заключенного между 0 и 1. Таким образом, мы добились противоречия.