НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

Число е

3.30. Определение.

Здесь n = 1*2*3* ... *n, если n≥1, и 0! = 1.

Этот ряд сходится, так как


поэтому определение имеет смысл. На самом деле указанный ряд сходится очень быстро, и это позволяет нам вычислить е с большой точностью.

Интересно отметить, что е можно определить также при помощи другого предельного перехода; доказательство служит хорошей иллюстрацией того, как следует оперировать с пределами.

3.31. Теорема.

Доказательство. Пусть


По теореме о биноме


Значит, tn≤sn, так что

(14)


по теореме 3.19. Далее, если n≥m, то


Устремим n к ∞, оставляя m фиксированным. Получим


так что


Устремляя m к ∞, мы окончательно получаем

(15)


Теорема следует из (14) и (15).

Скорость, с которой сходится ряд можно оценить так: если sn обозначает то же, что и выше, то


так что

(16)


Таким образом, сумма s10 приближает число е с ошибкой, меньшей 10-7. Неравенство (16) представляет и теоретический интерес, так как оно позволяет очень легко доказать иррациональность числа е.

3.32. Теорема.Число е иррационально.

Доказательство. Допустим, что е рационально. Тогда e = p/q, где р, q - положительные целые числа. В силу (16),

(17)


Согласно предположению, q!e - целое число. Число q!(е - sq) также целое, поскольку


Так как q≥1, из (17) следует существование целого числа, заключенного между 0 и 1. Таким образом, мы добились противоречия.

предыдущая главасодержаниеследующая глава
top.mail.ru











9 электронных устройств, которые были изобретены в СССР и опередили время

Нидерландская компания разработала банковскую карту со встроенным сканером отпечатков пальцев

15 вещей, которые должны были стать великими изобретениями, но этого не случилось

Основатель Microsoft представил туалет будущего

Huawei анонсировала первые «умные» очки без встроенной камеры

Ученые научились удерживать ультразвуком крупные объекты

Голосовые помощники стали читать по губам


© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru