Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Число е

3.30. Определение.

Здесь n = 1*2*3* ... *n, если n≥1, и 0! = 1.

Этот ряд сходится, так как


поэтому определение имеет смысл. На самом деле указанный ряд сходится очень быстро, и это позволяет нам вычислить е с большой точностью.

Интересно отметить, что е можно определить также при помощи другого предельного перехода; доказательство служит хорошей иллюстрацией того, как следует оперировать с пределами.

3.31. Теорема.

Доказательство. Пусть


По теореме о биноме


Значит, tn≤sn, так что

(14)


по теореме 3.19. Далее, если n≥m, то


Устремим n к ∞, оставляя m фиксированным. Получим


так что


Устремляя m к ∞, мы окончательно получаем

(15)


Теорема следует из (14) и (15).

Скорость, с которой сходится ряд можно оценить так: если sn обозначает то же, что и выше, то


так что

(16)


Таким образом, сумма s10 приближает число е с ошибкой, меньшей 10-7. Неравенство (16) представляет и теоретический интерес, так как оно позволяет очень легко доказать иррациональность числа е.

3.32. Теорема.Число е иррационально.

Доказательство. Допустим, что е рационально. Тогда e = p/q, где р, q - положительные целые числа. В силу (16),

(17)


Согласно предположению, q!e - целое число. Число q!(е - sq) также целое, поскольку


Так как q≥1, из (17) следует существование целого числа, заключенного между 0 и 1. Таким образом, мы добились противоречия.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru