Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Ряды с неотрицательными членами

Простейшим из всех таких рядов, по-видимому, является геометрическая прогрессия.

3.26. Теорема.Если 0≤х<1, то


Если х≥1, то этот ряд расходится.

Доказательство. Если х≠1, то


Устремляя n к ∞, мы получим требуемый результат. При х = 1 получается ряд

1 + 1 + 1 + ...,

который, очевидно, расходится.

Во многих случаях, встречающихся в приложениях, члены ряда монотонно убывают. Поэтому следующая теорема Коши представляет особый интерес. Поразительная особенность утверждения теоремы состоит в том, что довольно "редкая" подпоследовательность последовательности {аn} определяет сходимость или расходимость ряда ∑an.

3.27. Теорема. Допустим, что a1≥a2≥a3≥...≥0. Тогда ряд сходится в том и только в том случае, когда сходится ряд

(7)


Доказательство. По теореме 3.24 достаточно установить ограниченность частных сумм. Пусть

sn = a1 + a2 + ... +an
tk = a1 + 2a2 + ... + 2ka2k

При n<2k имеем


так что

(8)


С другой стороны, при n>2k


так что

(9)


В силу (8) и (9), последовательности {sn} и {tk} или обе ограничены, или обе не ограничены.

Доказательство закончено.

3.28. Теорема.Ряд сходится, если р>1, и расходится, если р≤1.

Доказательство. Если р≤0, то расходимость следует из теоремы 3.23. Если р>0, то применима теорема 3.27, и мы приходим к ряду


Но 2(1-p)<1 тогда и только тогда, когда 1-р<0, и теорема вытекает из сопоставления с геометрической прогрессией (следует положить х = 21-p в теореме 3.26).

В качестве еще одного приложения теоремы 3.27 будет доказана следующая теорема.

3.29. Теорема. Если р>1, то ряд

(10)


сходится; если р≤1, то этот ряд расходится.

Замечание. Символ log n обозначает логарифм числа n по основанию e (ср. упражнение 9, гл. 1); число е будет вскоре определено (см. определение 3.30). Мы начинаем ряд с n = 2, так как log 1 = 0.

Доказательство. Из монотонности логарифмической функции (которая более подробно будет рассматриваться в гл. 8) следует, что {log n} - возрастающая последовательность. Значит, последовательность убывает, и мы можем применить теорему 3.27 к ряду (10); это приводит к ряду

(11)


и теорема 3.29 следует из теоремы 3.28.

Эту процедуру, очевидно, можно продолжить. Например, ряд

(12)


расходится, тогда как ряд

(13)


сходится.

Можно заметить, что члены ряда (12) очень мало отличаются от членов ряда (13). Однако один ряд сходится, а другой расходится. Продолжая процесс, который привел нас от теоремы 3.28 к теореме 3.29, а затем к (12) и (13), мы получим пары сходящихся и расходящихся рядов, члены которых отличаются даже меньше, чем члены рядов (12) и (13). Можно было бы предположить, что имеется некое предельное положение, "граница", по одну сторону которой лежат все сходящиеся, а по другую-все расходящиеся ряды, по крайней мере пока речь идет о рядах с монотонно убывающими членами. Конечно, это понятие "границы" совсем неясное. Однако мы хотим отметить следующее: как бы мы ни уточнили это понятие, такое предположение окажется неверным. Упражнения 11 (b) и 12 (b) могут служить иллюстрациями.

Мы не хотим вдаваться глубже в подобные вопросы теории сходимости и отсылаем читателя к главе IX, в особенности § 41, книги Кноппа* (см. литературу).

* (См. также Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. II, М.- Л., 1948, п. 365.- Прим. перев.)

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru