Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Ряды

В остальной части этой главы все рассматриваемые последовательности и ряды будут комплекснозначными, если явно не оговорено противное. В упражнении 15 предлагается распространить некоторые из следующих ниже теорем на ряды с членами из Rk.

3.21. Определение. Пусть задана последовательность {аn}. Мы будем обозначать сумму ap + ap+1 + ... +aq (p≤g) через Последовательности {аn} мы сопоставим последовательность {sn}, где


Символ


или, короче,

(4)


мы будем называть бесконечным рядом или просто рядом. Числа sn называются частными суммами этого ряда. Если последовательность {sn} сходится к s, то мы будем говорить, что ряд сходится, и будем писать


Число s называется суммой этого ряда, но необходимо ясно понимать, что s является пределом последовательности сумм, а не получается простым сложением.

Если последовательность {sn} расходится, то говорят, что ряд расходится.

Иногда для удобства обозначений мы будем рассматривать ряды вида

(5)


Часто мы будем вместо (4) или (5) писать просто ∑an.

Ясно, что каждую теорему о последовательностях можно сформулировать на языке рядов (полагая a1 = s1 и an = sn - sn-1 при n>1), и обратно. Но тем не менее полезно различать эти понятия.

Критерий Коши (теорему 3.11) можно сформулировать в следующем виде.

3.22. Теорема.Ряд ∑an сходится тогда и только тогда, когда для любого ε>0 существует целое N, такое, что

(6)


если m≥n≥N.

В частности, при m = n неравенство (6) превращается в неравенство


Иными словами, справедлива следующая теорема.

3.23. Теорема. Если ряд ∑an сходится, то

Однако условие аn→0 не достаточно для того, чтобы обеспечить сходимость ряда ∑an. Например, ряд


расходится; за доказательством мы отсылаем к теореме 3.28.

Теорема 3.14 о монотонных последовательностях также имеет очевидный аналог для рядов.

3.24. Теорема.Ряд неотрицательных* членов сходится тогда и только тогда, когда его частные суммы образуют ограниченную последовательность.

* (Выражение "неотрицательный" всегда относится к вещественным числам.)

Теперь мы обратимся к признаку сходимости другой природы-к так называемому "признаку сравнения".

3.25. Теорема.(а) Если при n≥N0, где N0 - некоторое фиксированное целое, и если ряд ∑cn сходится, то и ряд ∑an сходится.

(b) Если an≥dn≥0 при n≥N0 и если ряд ∑dn расходится, то и ряд ∑an расходится.

Заметим, что признак (b) применим только к рядам с неотрицательными членами аn.

Доказательство. Согласно критерию Коши, для данного ε>0 существует N≥N0, такое, что при m≥n≥N имеем


Значит,


и (а) доказано.

Далее, (b) следует из (а), так как если ряд ∑an сходится, то и ряд ∑dn должен сходиться (заметим, что (b) следует также из теоремы 3.24).

Этот признак сравнения очень полезен; чтобы успешно применять его, мы должны освоиться с некоторым набором рядов с неотрицательными членами, заведомо сходящихся или расходящихся.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru