Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Некоторые специальные последовательности

Теперь мы вычислим пределы некоторых часто встречающихся последовательностей. Все доказательства будут основаны на следующем замечании: если 0≤xn≤sn при n≥N, где N - некоторое фиксированное число, и если sn→0, то хn→0.

3.20. Теорема.(а) Если р>0, то

(b) Если р>0, то

(c)

(d) Если p>0 и α - вещественное число, то


(e) Если то

1 (Смысл символа np не был до сих пор определен, то же относится и к nα в пункте (d); указания на способ определения степени с любым вещественным показателем содержатся в упражнении 7 к гл. 1.- Прим. перев.)

Доказательство. (а) Возьмем

(b) Если р>1, то положим Тогда xn>0 и, согласно теореме о биноме,


так что


Значит, хn→0. Если р = 1, то (b) тривиально; если 0<p<11, то результат получается переходом к обратным числам.

(c) Положим Тогда xn≥0 и, согласно теореме о биноме,


Значит,


(d) Пусть k - такое целое число, что k>α, k>0. Для n≥2k имеем


Значит,


Поскольку α - k <0, имеем nα-k→ 0 в силу (а).

(e) Возьмем α = 0 в (d).

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru