НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

Некоторые специальные последовательности

Теперь мы вычислим пределы некоторых часто встречающихся последовательностей. Все доказательства будут основаны на следующем замечании: если 0≤xn≤sn при n≥N, где N - некоторое фиксированное число, и если sn→0, то хn→0.

3.20. Теорема.(а) Если р>0, то

(b) Если р>0, то

(c)

(d) Если p>0 и α - вещественное число, то


(e) Если то

1 (Смысл символа np не был до сих пор определен, то же относится и к nα в пункте (d); указания на способ определения степени с любым вещественным показателем содержатся в упражнении 7 к гл. 1.- Прим. перев.)

Доказательство. (а) Возьмем

(b) Если р>1, то положим Тогда xn>0 и, согласно теореме о биноме,


так что


Значит, хn→0. Если р = 1, то (b) тривиально; если 0<p<11, то результат получается переходом к обратным числам.

(c) Положим Тогда xn≥0 и, согласно теореме о биноме,


Значит,


(d) Пусть k - такое целое число, что k>α, k>0. Для n≥2k имеем


Значит,


Поскольку α - k <0, имеем nα-k→ 0 в силу (а).

(e) Возьмем α = 0 в (d).

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь