Верхний и нижний пределы

3.15. Определение. Пусть {s_n} - последовательность вещественных чисел, обладающая следующим свойством: для любого вещественного М существует целое N, такое, что при n≥N мы имеем s_n≥M. Тогда мы пишем

Аналогичным образом, если для любого вещественного числа М существует целое N, такое, что при n≥N мы имеем s_n≤M, то мы пишем

Следует отметить, что мы теперь используем символ → (введенный в определении 3.1) для некоторых типов расходящихся последовательностей, так же как и для сходящихся последовательностей, но что определения сходимости и предела, данные в п. 3.1, никоим образом не меняются.

3.16. Определение. Пусть {s_n} - последовательность вещественных чисел. Пусть Е - множество чисел х (в расширенной системе вещественных чисел), таких, что s_nk→x для некоторой подпоследовательности {s_nk}. Это множество Е содержит все частичные пределы, определенные в п. 3.5, и, возможно, числа +∞, -∞.

Вспомним теперь определения 1.34 и 1.40 и положим

Числа s^*, s_* называются верхним и нижним пределами последовательности {s_n}; мы используем обозначения

3.17. Теорема.Пусть {s_n} - последовательность вещественных чисел. Пусть Е и s^* имеют тот же смысл, что и в определении 3.16. Тогда s^* обладает следующими свойствами:

Конечно, аналогичный результат верен для s_*.

Доказательство. Если s^* = +∞, то множество Е не ограничено сверху; значит, последовательность {s_n} не ограничена сверху и существует подпоследовательность {s_nk}, такая, что s_nk→+∞.

Если s^* - вещественное число, то множество Е ограничено сверху и существует по крайней мере один частичный предел, поэтому (а) следует из теорем 3.7 и 2.28.

Если s^* = -∞, то Е содержит только один элемент, а именно -∞, и не существует ни одного частичного предела. Значит, для любого вещественного М неравенство s_n>M может выполняться лишь для конечного множества значений n, так что s_n→-∞.

Тем самым (а) установлено во всех случаях.

Чтобы доказать (b), допустим, что существует число x>s^*, такое, что s_n≥x для бесконечного множества значений n. В этом случае существует число у∈Е, такое, что y≥x>s^*, а это противоречит определению s^*.

Таким образом, s^* удовлетворяет условиям (а) и (b).

Для доказательства единственности допустим, что существуют два числа р и q, удовлетворяющие условиям (а) и (b), и допустим, что р<q. Выберем х таким, что p<x<q. При n≥N имеем s_n<x, так как р удовлетворяет условию (b). Но тогда q не может удовлетворять условию (а).

3.18. Примеры, (а) Пусть {s_n} - последовательность, содержащая все рациональные числа. Тогда каждое вещественное число является частичным пределом и

(b) Пусть Тогда

(c) Для последовательности {s_n} вещественных чисел тогда и только тогда, когда

Мы закончим этот раздел одной полезной теоремой, доказательство которой совсем тривиально.

3.19. Теорема. Если s_n≤t_n при n≥N, где N фиксировано, то