Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Последовательности Коши

3.8. Определение. Последовательность {рn} в метрическом пространстве X называется последовательностью Коши(фундаментальной последовательностью, последовательностью, к сходящейся в себе), если для любого ε>0 существует целое N, такое, что d(рn, рm)<ε при n≥N и m≥N.

При рассмотрении последовательностей Коши, а также в других ситуациях, которые возникнут позднее, окажется полезным следующее геометрическое понятие.

3.9. Определение. Пусть Е - подмножество метрического пространства X, и пусть S - множество всех вещественных чисел вида d(p, q), где р∈Е и q∈E. Диаметром множества Е называется число sup S. Это число обозначается diam E.

Если {рn} - последовательность в X, a EN состоит из точек pN, pN+1, pN+2, ..., то из двух последних определений ясно, что {рn} - последовательность Коши тогда и только тогда, когда


3.10. Теорема, (а) Если есть замыкание множества Е в метрическом пространстве X, то


(b) Если {Кn} - последовательность компактных множеств в X, такая, что Kn⊃Kn+1 (n = 1, 2, 3, ...), и если


то состоит ровно из одной точки.

Доказательство. (а) Ясно, что


так как Е⊂.

Зафиксируем число ε>0 и выберем р∈, q∈. По определению множества , в Е содержатся точки p', q', такие, что d(p, p')<ε, d(q, q')<ε. Значит,

d(p, q)≤d(p, p') + d(p', q'0 + d(q', q)< 2ε + d(p', q')≤ 2ε + diam E.

Следовательно,


и так как ε произвольно, утверждение (а) доказано.

(b) Положим По теореме 2.36, К непусто. Если К содержит более одной точки, то diam K> 0. Но при каждом n мы имеем Кn⊃К, так что diam Kn ≥ diam К. Это противоречит предположению, что diam Kn→0.

3.11. Теорема, (а) Всякая сходящаяся последовательность в метрическом пространстве X является последовательностью Коши.

(b) Всякая последовательность Коши в Rk сходится.

Замечание. Разница между определением сходящейся последовательности и определением последовательности Коши состоит в том, что в первое определение в явном виде входит предел, в то время как во второе определение он не входит. Таким образом, теорема 3.11 (b) позволяет нам решить, сходится или нет данная последовательность, даже если мы не знаем предела, к которому она может сходиться.

То (содержащееся в теореме 3.11) утверждение, что последовательность в Rk сходится тогда и только тогда, когда она является последовательностью Коши, обычно называют критерием сходимости Коши.

Доказательство, (а) Если и ε>0, то существует целое N, такое, что при n≥N. Значит, если n≥N и m≥N, то


так что {рn} - последовательность Коши.

(b) Допустим, что {хn} - последовательность Коши в Rk. Пусть EN - множество, состоящее из точек xN, xN+1, xN+2, ... и пусть N - замыкание множества EN. По определению 3.9 и по теореме 3.10 (а) мы имеем

(3)


В частности, множества N ограничены. Кроме того, они замкнуты. (Это следует из упражнения 4, гл. 2. Вот короткое доказательство: если х∉N, то х∉EN, и х не является предельной точкой множества EN; поэтому некоторая окрестность V точки х не пересекается с EN. Никакая точка окрестности V не принадлежит EN, так как множество V открыто; следовательно, дополнение множества EN открыто.) Значит, каждое множество N компактно (теорема 2.41). Кроме того, EN⊃EN+1 так что NN+1. По теореме 3.10 (b) существуетvединственная точка x∈Rk принадлежащая каждому множеству N.

Пусть задано число ε>0. В силу (3) имеется целое N0, такое, что diam N<ε, если N≥Nn. Поскольку х&38712;N, это значит, что при всех у&38712;N, а поэтому и при всех y∈EN. Иными словами, если n≥N0, то Но это означает в точности, что хn→х, и доказательство закончено.

3.12. Определение. Метрическое пространство X, в котором каждая последовательность Коши сходится, называется полным. Поэтому теорему 3.11 (b) можно сформулировать так: Rkv-vполное метрическое пространство. Примером неполного метрического пространства служит пространство всех рациональных чисел с расстоянием

Теорема 3.2 (с) и пример (d) из п. 3.1 показывают, что сходящиеся последовательности ограничены, но ограниченные последовательности в Rk не обязательно сходятся. Однако имеется один важный случай, когда сходимость равносильна ограниченности. Так обстоит дело с монотонными последовательностями в R1.

3.13. Определение. Последовательность {sn} вещественных чисел называется

(a) монотонно возрастающей, если sn≤sn+1, (n = 1, 2, 3, ...);

(b) монотонно убывающей, если sn≥sn+1 (n = 1, 2, 3, ...).

Класс монотонных последовательностей состоит из возрастающих и убывающих последовательностей.

3.14. Теорема.Монотонная последовательность {sn} сходится в том и только в том случае, когда она ограничена.

Доказательство. Допустим, что sn≤sn+1 (в другом случае доказательство аналогично). Пусть Е - множество значений последовательности {sn}. Если последовательность {sn} ограничена, то пусть s - верхняя грань множества Е. Тогда

sn≤s (n = 1, 2, 3, ...).

Для любого ε>0 существует целое N, такое, что s-ε<sN≤s, так как иначе s-ε было бы верхней границей множества Е. Поскольку последовательность {sn} возрастает, то при n≥N имеем


откуда следует, что {sn} сходится (к s).

Обратное следует из теоремы 3.2 (с).

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru