НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

Подпоследовательности

3.5. Определение. Пусть задана последовательность {рn}. Рассмотрим последовательность {nk) положительных целых чисел, такую, что n1<n2<n3<... . Тогда последовательность {рni} называется подпоследовательностью последовательности {рn}. Если последовательность {рni} сходится, то ее предел называется частичным пределом последовательности {рn}.

Ясно, что последовательность {рn} сходится к р тогда и только тогда, когда всякая ее подпоследовательность сходится к р. Мы предоставляем читателю провести детальное доказательство.

3.6. Теорема.Всякая ограниченная последовательность в Rk содержит сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть Е - множество значений ограниченной последовательности {хn} в Rk. Если Е конечно, то существуют по крайней мере одна точка х множества Е и последовательность {ni} (n1<n2<n3<...), такие, что


Полученная таким образом подпоследовательность, очевидно, сходится.

Если множество Е бесконечно, то оно имеет предельную точку x∈Rk (теорема 2.42). Выберем n1 так, что Выбрав n1, ..., ni-1, мы получим, по теореме 2.22, что существует целое ni>ni-1, такое, что Построенная таким образом подпоследовательность сходится к х.

3.7. Теорема.Частичные пределы последовательности {рn} в метрическом пространстве X образуют замкнутое множество в X.

Доказательство. Пусть Е - множество значений последовательности {рn}, а Е* - множество всех частичных пределов этой последовательности. Допустим, что q - предельная точка множества Е*. Чтобы показать, что q∈E*, достаточно, по теореме 3.2 (d), показать, что q - предельная точка множества Е.

Пусть задано число ε>0. Поскольку q - предельная точка множества Е*, имеется точка р∈Е*, такая, что


Так как р∈Е*, то при некотором рn имеем


Значит, pn ≠q и


Поскольку pn∈E, отсюда следует, что q - предельная точка множества Е, и доказательство закончено.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь