Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Подпоследовательности

3.5. Определение. Пусть задана последовательность {рn}. Рассмотрим последовательность {nk) положительных целых чисел, такую, что n1<n2<n3<... . Тогда последовательность {рni} называется подпоследовательностью последовательности {рn}. Если последовательность {рni} сходится, то ее предел называется частичным пределом последовательности {рn}.

Ясно, что последовательность {рn} сходится к р тогда и только тогда, когда всякая ее подпоследовательность сходится к р. Мы предоставляем читателю провести детальное доказательство.

3.6. Теорема.Всякая ограниченная последовательность в Rk содержит сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть Е - множество значений ограниченной последовательности {хn} в Rk. Если Е конечно, то существуют по крайней мере одна точка х множества Е и последовательность {ni} (n1<n2<n3<...), такие, что


Полученная таким образом подпоследовательность, очевидно, сходится.

Если множество Е бесконечно, то оно имеет предельную точку x∈Rk (теорема 2.42). Выберем n1 так, что Выбрав n1, ..., ni-1, мы получим, по теореме 2.22, что существует целое ni>ni-1, такое, что Построенная таким образом подпоследовательность сходится к х.

3.7. Теорема.Частичные пределы последовательности {рn} в метрическом пространстве X образуют замкнутое множество в X.

Доказательство. Пусть Е - множество значений последовательности {рn}, а Е* - множество всех частичных пределов этой последовательности. Допустим, что q - предельная точка множества Е*. Чтобы показать, что q∈E*, достаточно, по теореме 3.2 (d), показать, что q - предельная точка множества Е.

Пусть задано число ε>0. Поскольку q - предельная точка множества Е*, имеется точка р∈Е*, такая, что


Так как р∈Е*, то при некотором рn имеем


Значит, pn ≠q и


Поскольку pn∈E, отсюда следует, что q - предельная точка множества Е, и доказательство закончено.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru