Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Сходящиеся последовательности

3.1. Определение. Последовательность {рn} в метрическом пространстве X называется сходящейся, если существует точка р∈Х, обладающая следующим свойством: для каждого ε>0 существует целое число N, такое, что при n≥N имеем d (рn, р)<ε (здесь d обозначает расстояние в X).

В этом случае мы будем говорить также, что последовательность {рn} сходится к р или что р - предел последовательности {рn} [см. теорему 3.2 (b)], и будем писать рn→р или


Если последовательность {рn} не сходится, то говорят, что она расходится.

Полезно отметить, что наше определение "сходящейся последовательности" зависит не только от {рn}, но и от X; например, последовательность {1/n} сходится в R1{к 0), но не сходится в множестве всех положительных вещественных чисел [когда d(x, у) = |x - y|]. В тех случаях, когда возможна путаница, мы будем более точными и будем говорить отчетливо "сходится в X" вместо "сходится".

Напомним, что множество всех точек рn (n = 1, 2, 3, ...) есть множество значений последовательности {рn}. Множество значений последовательности может быть конечным или бесконечным. Последовательность называется ограниченной, если множество ее значений ограничено.

Для примера рассмотрим следующие последовательности комплексных чисел (при этом X = R2).

(a) Если sn = 1/n, то множество значений бесконечно, и последовательность ограничена.

(b) Если sn = n2, то последовательность {sn} не ограничена, расходится, а множество ее значений бесконечно.

(c) Если sn = 1 + [(-1)n/n], то последовательность {sn} сходится к 1, ограничена, а множество ее значений бесконечно.

(d) Если sn = in, то последовательность {sn} расходится, ограничена, а множество ее значений конечно.

(e) Если sn = 1 (n = 1,2, 3, ...), то {sn} сходится к 1, ограничена, а множество ее значений конечно.

Сформулируем теперь некоторые важные свойства сходящихся последовательностей в метрических пространствах.

3.2. Теорема.Пусть {рn} - последовательность в метрическом пространстве X.

(a) {рn} сходится к р∈Х тогда и только тогда, когда каждая окрестность точки р содержит все члены последовательности {рn}, за исключением конечного их числа.

(b) Если р∈Х, р'∈Х и {рn} сходится к р и к р', то р = р'.

(c) Если {рn} сходится, то {рn} ограничена.

(d) Если Е⊂Х и если р - предельная точка множества Е, то существует последовательность {рn} элементов множества Е, такая, что

Доказательство. (а) Допустим, что рn→р, и пусть V - окрестность точки р. Для некоторого ε>0 из условий d(p, q)<ε, q∈X, следует, что q∈V. Этому ε соответствует N, такое, что из неравенства n≥N следует, что d (рn, р)<ε. Таким образом, неравенство n≥N влечет за собой включение рn∈V.

Обратно, допустим, что каждая окрестность точки р содержит все точки рn, кроме конечного их числа. Зификсируем ε>0, и пусть V - множество всех q∈X, таких, что d(p, q)<ε. По предположению, существует N (соответствующее этой окрестности V), такое, что pn∈V, если n≥N. Таким образом, d(pn, p)<ε, если n≥N; значит, рn→р.

(b) Пусть задано число ε>0. Существуют целые числа N, N', такие, что



Значит, если n≥max(N, N'), то


Поскольку число ε было произвольным, мы заключаем отсюда, что d(p, р') = 0.

(c) Допустим, что рn→р. Тогда существует целое N, такое, что при n>N имеем d (рn, р)<1. Положим


Тогда d(pn, p)≤r при n = 1, 2, 3,....

(d) Для каждого положительного целого n существует точка рn∈Е, такая, что d(pn, р)<1/n. Для данного ε>0 выберем N так, что Nε>1. Если n>N, то d(pn, p)<ε. Значит, рn→р.

Доказательство закончено.

Для последовательностей в Rk мы можем изучать соотношения между сходимостью, с одной стороны, и алгебраическими операциями, с другой. Сначала мы рассмотрим последовательности комплексных чисел.

3.3. Теорема.Допустим, что {sn}, {tn} - комплексные последовательности и Тогда



для любого числа c;



если только sn ≠ 0 (n = 1, 2, 3, ...) и s≠0.

Доказательство.(а) Для данного ε>0 существуют целые N1, N2, такие, что



Если N = max(N1, N2), то при n≥N получим


Тем самым (а) доказано. Доказательство утверждения (b) тривиально.

(с) Воспользуемся тождеством

(1)


Для данного ε>0 существуют целые N1, N2, такие, что



Если мы возьмем N = max(N1, N2), то при n≥N получим


откуда


Применив теперь (а) и (b) к тождеству (1), мы заключаем, что

(d) Выбрав m так, что при n≥m, мы видим, что


(n≥m)

Для данного ε>0 существует целое N>m, такое, что при n≥N имеем


Отсюда при n≥N получаем


3.4. Теорема,(а) Допустим, что xn∈Rk (n = 1, 2,3,...) и

xn = (α1,n, ..., αk, n).

Последовательность {xn} сходится к х = (α1, ..., αk) тогда а только тогда, когда

(2)


(1≤j≤k)

(b) Допустим, что {хn}, {уn} - последовательности в Rk, {βn} -последовательность вещественных чисел и хn→х, уn→у, βn→β. Тогда




Доказательство. Если хn→х, то равенство (2) выполняется в силу неравенств


вытекающих непосредственно из определения нормы в Rk.

Обратно, если (2) выполнено, то каждому ε>0 соответствует целое N, такое, что при n≥N имеем


Значит, при n≥N получаем


откуда хn→х. Тем самым (а) доказано.

Утверждение (b) следует из (а) и теоремы 3.3.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru