Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Совершенные множества

2.43. Теорема.Пусть Р - непустое совершенное множество в Rk. Тогда Р несчетно.

Доказательство. Поскольку множество Р имеет предельные точки, оно должно быть бесконечным. Допустим, что Р счетно, и обозначим точки множества Р через х1, х2, х3, ... .

Мы построим последовательность окрестностей {Vn} следующим образом.

Пусть V1 - какая-нибудь окрестность точки х1. Если V1 состоит из всех y∈Rk, таких, что то соответствующая замкнутая окрестность V1 есть по определению множество всех у∈Rk, таких, что (Как и в теореме 2.21, легко доказать, что дополнение множества 1 открыто. Значит, замкнутые окрестности замкнуты.)

Допустим, что окрестность Vn построена так, что множество Vn∪P непусто. Поскольку каждая точка множества Р есть предельная точка этого множества, существует окрестность Vn+1, такая, что (i) n+1⊂Vn, (ii) xnn+1, (iii) множество Vn+1∩P непусто. В силу (iii), Vn+1 удовлетворяет предположению индукции, и построение может быть продолжено.

Положим Будучи ограниченным и замкнутым, множество n компактно. Ни одна точка множества Р не лежит в так как хn∉Kn+1. Отсюда следует, что множество пусто, так как Кn⊂P. Но ведь каждое множество Кn непусто в силу (iii) и Кn⊂Kn+1 в силу (i). Это противоречит следствию из теоремы 2.36.

Следствие.Каждый сегмент [a, b] (a<b) несчетен. Множество всех вещественных чисел несчетно.

2.44. Канторово множество. Пример, к построению которого мы переходим, показывает, что в R1 существуют совершенные множества, не содержащие никакого интервала.

Пусть E0 есть сегмент Удалим из него интервал и пусть E1 - объединение сегментов


Удалим средние трети этих сегментов, и пусть E2 -объединение сегментов


Продолжая таким образом, мы получим последовательность компактных множеств Еn, таких, что

(а) E1⊂E2⊂E3⊂...;

(b) Еn есть объединение 2n сегментов, длина каждого из которых равна 3-n.

Множество называется множеством Кантора. Множество Р, очевидно, компактно, и теорема 2.36 показывает, что Р непусто.

Никакой интервал вида

(24)


где k и m - положительные целые числа, не имеет общих точек с Р. Значит, Р не содержит никакого интервала, ибо каждый интервал (α, β) содержит интервал вида (24), если


Чтобы показать, что Р совершенно, достаточно показать, что Р не содержит изолированных точек. Пусть х∈Р и пусть S - какой-нибудь интервал, содержащий х. Пусть In - сегмент множества Еn, содержащий х. Выберем достаточно большое n, такое, что In⊂S. Пусть хn - тот конец сегмента In, для которого xn≠x.

Из построения множества Р следует, что хn∈Р. Значит, х есть предельная точка множества Р, и множество Р совершенно.

Одно из самых интересных свойств множества Кантора состоит в том, что оно доставляет нам пример несчетного множества меры нуль (понятие меры будет обсуждаться в гл. 10).

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru