Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Компактные множества

2.31. Определение. Открытым покрытием множества Е в метрическом пространстве X мы будем называть семейство {Gα} открытых подмножеств пространства X, такое, что Е⊂.

2.32. Определение. Подмножество К метрического пространства X называется компактным, если каждое открытое покрытие множества К содержит конечное подпокрытие.

Говоря точнее, требование состоит в том, что если {Gα} - открытое покрытие множества К, то имеется конечное число индексов α1, ..., αn, таких, что


Понятие компактности имеет большое значение в анализе, особенно в связи с непрерывностью (гл. 4).

Ясно, что каждое конечное множество компактно. Существование широкого класса бесконечных компактных множеств в Rk будет следовать из теоремы 2.41.

Мы заметили ранее (в п. 2.29), что если E⊂Y⊂X, то множество Е может быть открытым относительно Y, не будучи открытым относительно X. Свойство множества Е быть открытым зависит, таким образом, от пространства, в которое оно погружено. То же верно и в отношении свойства множества быть замкнутым.

Однако, как мы увидим, компактность - более удобное понятие. Чтобы сформулировать следующую теорему, мы будем говорить временно, что множество К компактно относительно X, если выполнены требования определения 2.32.

2.33. Теорема.Допустим, что К⊂Y⊂X. Множество К компактно относительно X в том и только в том случае, когда оно компактно относительно Y.

В силу этой теоремы мы сможем во многих ситуациях рассматривать компактные множества как метрические пространства сами по себе, не обращая никакого внимания на объемлющее пространство. В частности, хотя почти бессмысленно говорить об открытых пространствах или о замкнутых пространствах (каждое метрическое пространство X служит открытым подмножеством самого себя и замкнутым подмножеством самого себя), имеет смысл говорить о компактных метрических пространствах.

Доказательство. Предположим, что множество К компактно относительно X; пусть {Vα} - семейство множеств, открытых относительно Y, такое, что K⊂. По теореме 2.30 при каждом α существует множество Gα, открытое относительно X, такое, что Vα = Y∩Gα; поскольку К компактно относительно X, мы имеем

(22)


при некотором выборе конечного числа индексов α1, ..., αn.

Так как К⊂Y, то из (22) следует, что

(23)


Тем самым доказано, что множество К компактно относительно Y.

Обратно, допустим, что К компактно относительно Y. Пусть {Gα} - семейство открытых подмножеств пространства X, покрывающее К. Положим Vα = Y∩Gα. Тогда включение (23) будет выполнено при некотором выборе α1, ..., αn; так как Vα⊂Gα, то (22) следует из (23).

Доказательство закончено.

2.34. Теорема.Компактные подмножества метрических пространств замкнуты.

Доказательство. Пусть К - компактное подмножество метрического пространства X. Мы докажем, что дополнение множества К есть открытое подмножество пространства X.

Предположим, что р∈X, р∉К. Если q∈К, то пусть Vq и Wq - окрестности соответственно точек р и q радиуса, меньшего ½d(p, q) [см. определение 2.20 (а)].

Ввиду того что К - компактно, найдется конечный набор точек q1, ..., qn, принадлежащих множеству К. таких, что


Если V = Vq1∩...∩Vqn , то V - окрестность точки р, не пересекающаяся с W. Значит, V⊂Kc, так что р - внутренняя точка множества Кс. Теорема доказана.

2.35. Теорема.Замкнутые подмножества компактных множеств компактны.

Доказательство. Допустим, что F⊂К⊂X, множество F замкнуто (относительно X), а K - компактно. Пусть {Vα} - открытое покрытие множества F. Если присоединить множество Fc к {Vα}, то мы получим открытое покрытие Ω множества К. Поскольку К компактно, существует конечное подсемейство Φ семейства Ω, покрывающее множество К, а следовательно, и F. Если множество Fc входит в Φ, то мы можем удалить его из Φ и получить открытое покрытие множества F. Таким образом, мы показали, что конечное подпокрытие покрытия {Vα} покрывает F.

Следствие.Если F замкнуто, а К компактно, то F∩К компактно.

Доказательство. Теоремы 2.26 (b) и 2.34 показывают, что множество F∩K замкнуто, а так как F∩K⊂K, то по теореме 2.35 множество F∩K компактно.

2.36. Если {Кα} - семейство компактных подмножеств метрического пространства X, такое, что пересечение любого конечного подсемейства семейства {Кα} непусто, то и непусто.

Доказательство. Зафиксируем множество K1 из семейства {Кα} и положим Gα = Kαc. Предположим, что в K1 нет такой точки, которая принадлежала бы всем множествам Кα. Тогда множества Gα образуют открытое покрытие множества K1; так как K1 компактно, найдется конечный набор индексов α1, ... , αn, ... такой, что K1⊂Gα1∩...∩Gαn. Но это означает, что множество


пусто. Мы получили противоречие с услсзиями теоремы.

Следствие.Если {Кn} - последовательность непустых компактных множеств, такая, что Kn⊃Kn+1 (n = 1, 2, 3...), то и множество непусто.

2.37. Теорема.Если Е - бесконечное подмножество компактного множества К, то Е имеет предельную точку, принадлежащую К.

Доказательство. Если бы никакая точка множества К не была предельной точкой множества Е, то каждая точка q∈К имела бы окрестность Vq, содержащую не более одной точки множества Е (а именно точку q, если q∈E). Ясно, что никакое конечное подсемейство семейства {Vq} не может покрыть множество Е;, то же верно и для К, так как Е⊂K. Но это противоречит компактности множества К.

2.38. Теорема.Если {In} - последовательность сегментов в R1, такая, что In⊃In+1 (n = 1, 2, 3, ...), то множество непусто.

Доказательство. Если In = [an, bn], то пусть E есть множество всех аn. Тогда множество Е непусто и ограничено сверху (числом b1). Пусть x - sup E. Если n и m - положительные целые числа, то


так что х≤bm при каждом m. Поскольку очевидно, что аm≤x, то мы видим, что х∈Im при m = 1, 2, 3, ... .

2.39. Теорема.Пусть k - положительное целое число. Если {In} - последовательность k-мерных клеток, такая, что In⊃In+1 (n = 1, 2, 3, ...), то множество непусто.

Доказательство. Пусть In состоит из всех точек х = (х1, ..., xk), таких, что


и пусть In,j = [an,j, bn,j]. При каждом j последовательность {In,j} удовлетворяет предположениям теоремы 2.38. Значит, существуют вещественные числа xj* (1≤j≤k), такие, что


Полагая х* = (х*1, ..., х*k), мы видим, что х*∈In при n = 1, 2, 3,... . Теорема доказана.

2.40. Теорема.Любая k-мерная клетка компактна.

Доказательство. Пусть I есть k-мерная клетка, состоящая из всех точек x = (x1,..., xk), таких, что aj≤j≤k. Положим


Тогда если х∈I, у∈I.

Допустим, что вопреки утверждению теоремы существует открытое покрытие {Gα} множества I, не содержащее конечного подпокрытия множества I. Положим cj = (aj + bj)/2 Сегменты [aj, cj] и [cj, bj] определяют тогда 2kk-мерных клеток Qi, объединение которых есть I. Хотя бы одно из этих множеств Qi (обозначим его I1) не может быть покрыто никаким конечным подсемейством семейства {Gα} (в противном случае так была бы покрыта вся клетка I). Теперь мы разобьем I1 и продолжим этот процесс. Мы получим последовательность {In}, обладающую следующими свойствами:

(a) I⊃I1⊃I2⊃I3⊃...;

(b) In не покрывается никаким конечным подсемейством семейства {Gα};

(c) если х∈In и y∈In, то

Из (а) и теоремы 2.39 следует, что существует точка х*, принадлежащая всем множествам In. При некотором α имеем х*∈Gα. Поскольку Gα открыто, существует r>0, такое, что из неравенства следует включение у∈Gα. Если n столь велико, что 2-nδ<r (такое n существует, ибо иначе 2nδ/r для всех положительных целых n, что невозможно), то из (с) следует, что In⊂Gα, а это противоречит утверждению (b).

Доказательство закончено.

Утверждение об эквивалентности свойств (а) и (b) в следующей теореме известно под названием теоремы Гейне - Бореля.

2.41. Теорема.Если множество Е из Rk обладает одним из трех следующих свойств, то оно обладает и двумя другими:

(a) Е ограничено и замкнуто;

(b) E компактно;

(с) каждое бесконечное подмножество множества Е имеет предельную точку, принадлежащую Е.

Доказательство. Если (а) выполнено, то Е⊂I, где I - некоторая k-мерная клетка, и (b) следует из теорем 2.40 и 2.35. Теорема 2.37 показывает, что (b) влечет за собой (с). Остается доказать, что из (с) следует (а).

Если множество Е не ограничено, то оно содержит точки хn, такие, что


Множество S, состоящее из этих точек хn, бесконечно и, очевидно, не имеет предельных точек в Rk и тем более в Е.

Таким образом, из (с) следует, что множество Е ограничено.

Если Е не замкнуто, то имеется точка x0∈Rk, являющаяся предельной точкой множества Е, но не принадлежащая Е. При n = 1, 2, 3, ... имеются точки хn∈E, такие, что . Пусть S - множество этих точек хn. Тогда S - бесконечное множество (в противном случае имело бы постоянное положительное значение для бесконечного множества номеров n), х0 - предельная точка множества S и в Rk нет других предельных точек множества S. Действительно, если y∈Rk, y ≠x0, то


для всех n, за исключением некоторого конечного множества; это показывает, что у не является предельной точкой множества S (теорема 2.22).

Таким образом, S не имеет предельных точек в Е; значит, множество Е замкнуто, если выполнено (с).

Следует отметить в связи с этой теоремой, что (b) и (с) эквивалентны в любом метрическом пространстве (упражнение 13), но что из (а) в общем случае не следуют (b) и (с). Например, это так в пространстве , которое обсуждается в гл. 10. Один пример дается также в упражнении 9.

2.42. Теорема (Вейерштрасс).Всякое ограниченное бесконечное подмножество пространства Rk имеет предельную точку в Rk.

Доказательство. Будучи ограниченным, множество, о котором идет речь, содержится в некоторой k-мерной клетке I⊂Rk. По теореме 2.40 множество I компактно, поэтому, согласно теореме 2.37, множество Е имеет в I предельную точку.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru