Метрические пространства

2.17. Определение. Говорят, что множество X, элементы которого мы будем называть точками, есть метрическое пространство, если любым двум точкам р и q множества X соответствует вещественное число d(p, q), называемое расстоянием от р до q, такое, что

(а) d(p, q)>0, если p≠q; d(p, р) = 0;

(c) d(p, q)≤d(p, r) + d(r, q) при любом r∈Х.

2.18. Примеры. Самыми важными примерами метрических пространств с нашей точки зрения служат евклидовы пространства R^k, особенно R¹ (вещественная прямая) и R² (комплексная плоскость); расстояние в R^k определяется так:

(19)

По теореме 1.64 метрика (19) удовлетворяет условиям определения 2.17.

Важно заметить, что каждое подмножество Y метрического пространства X в свою очередь является метрическим пространством с той же самой функцией расстояния. В самом деле, ясно, что если условия (а)-(с) определения 2.17 выполнены для р, q, r ∈Х, то они выполнены и для р, q, r, лежащих в Y.

Таким образом, каждое подмножество евклидова пространства - метрическое пространство. Другими примерами служат пространства (K) и (μ), рассматриваемые соответственно в гл. 7 и 10.

2.19. Определение.Под интервалом (а, и) мы будем понимать множество всех вещественных чисел х, таких, что а<х<b.

Под сегментом [а, b) мы будем понимать множество всех вещественных чисел х, таких, что а≤x≤b.

Иногда мы будем встречаться с полуинтервалами [а, b) и (а, b); первый состоит из всех х, таких, что а≤x<b, второй - из всех х, таких, что a<x≤b.

Если a_i<b_i при i = 1, ..., k, то множество всех точек х = (х₁, ..., x_k) в R^k, координаты которых удовлетворяют неравенствам a_i≤x_i≤b_i (1≤i≤k), называется k-мерной клеткой. Таким образом, одномерная клетка - это сегмент, двумерная клетка - прямоугольник и т. д.

Если х∈R^k и r>0, то открытый (или замкнутый) шар В с центром в х радиусом r есть по определению множество всех у∈R^k таких, что

Назовем множество Е⊂R^kвыпуклым, если при любых х∈Е, у&38712;E и

Например, шары выпуклы, ибо если и то

То же доказательство применимо и к замкнутым шарам. Легко видеть также, что k-мерные клетки выпуклы.

2.20. Определение. Пусть X - метрическое пространство. Все упоминаемые ниже точки и множества следует считать элементами и подмножествами пространства X.

(a) Окрестностью точки р называется множество N_r (р), состоящее из всех точек q, таких, что d(p, q)<r. Число r называется радиусом окрестности N_r (p).

(b) Точка р называется предельной точкой множества Е, если каждая окрестность точки р содержит точку q≠р, такую, что q∈E.

(c) Если р∈Е и р не является предельной точкой множества Е, то р называется изолированной точкой множества Е.

(d) Множество Е замкнуто, если каждая предельная точка множества Е является точкой множества Е.

(e) Точка р называется внутренней точкой множества Е, если она имеет окрестность N, такую, что N⊂Е.

(f) Множество Е открыто, если каждая точка множества Е является его внутренней точкой.

(g) Дополнением множества Е (обозначается символом Ес) называется множество всех точек р∈Х, таких, что р∉Е.

(h) Множество Е совершенно, если оно замкнуто и если каждая точка множества Е является его предельной точкой.

(i) Множество Е ограничено, если существуют вещественное число М и точка q∈X, такие, что d (p, q)<M при всех р∈Е.

(j) Множество Е всюду плотно в X, если каждая точка множества X является либо предельной точкой множества Е, либо принадлежит множеству Е (либо и то, и другое).

Отметим, что окрестностями в R¹ служат интервалы, в то время как окрестности в R² - это внутренности окружностей.

2.21. Теорема.Всякая окрестность является открытым множеством.

Доказательство. Рассмотрим окрестность E = N_r (p); пусть q - какая-нибудь точка множества Е. Тогда существует положительное вещественное число h, такое, что

Для всех точек s, таких, что d(q, s)<h, мы имеем

так что s∈E. Таким образом, q - внутренняя точка множества Е.

2.22. Теорема.Если р - предельная точка множества Е, то любая окрестность точки р содержит бесконечно много точек множества Е.

Доказательство. Предположим, что существует окрестность N точки р, содержащая только конечное число точек множества Е. Пусть q₁, ..., q_n - те точки множества N∩E, которые не совпадают с р. Положим

(так мы обозначаем наименьшее из чисел d(p, q₁), ..., d(p, q_n). Ясно, что минимум конечного множества положительных чисел - положительное число, так что r>0.

Окрестность N_r (p) не содержит ни одной точки q множества Е, такой, что q ≠ p, поэтому р не является предельной точкой множества Е. Это противоречие и доказывает теорему.

Следствие.Конечное множество точек не имеет предельных точек.

2.23. Примеры. Рассмотрим следующие подмножества пространства R²:

(а) множество всех комплексных z, таких, что

(b) множество всех комплексных z, таких, что

(c) некоторое конечное множество;

(d) множество всех целых чисел;

(e) множество, состоящее из чисел ¹/_n (n = 1,2, 3, ...).

Отметим, что последнее множество Е имеет предельную точку (а именно z = 0), но никакая точка множества Е не является его предельной точкой. Мы хотим подчеркнуть разницу между свойствами множества иметь предельную точку и содержать предельную точку.

(f) Множество всех комплексных чисел (т. е. R²);

(g) интервал (а, b).

Отметим, что множества (d), (e), (g) можно рассматривать и как подмножества пространства R¹.

Некоторые свойства этих множеств перечислены в следующей таблице:

В строке (g) мы не заполнили второй клетки. Причина этого в том, что интервал (а, b) не есть открытое множество, если рассматривать его как подмножество пространства R², но он является открытым подмножеством пространства R¹.

2.24. Теорема.Пусть {Е_α} - (конечное или бесконечное) семейство множеств Е_α. Тогда

(20)

Доказательство. Пусть А и B - множества, стоящие соответственно слева и справа в равенстве (20). Если х∈А, то значит, х&38713;Е_α при всех α, поэтому хẄЕ^с_α при всех α, так что х∈∩E^c_α. Таким образом, A⊂B.

Обратно, если х∈В, то х∈E^c_α при всех α, значит, х∉Е_α при всех α, поэтому так что x∈. Таким образом, В⊂А.

Следовательно, А = В.

2.25. Теорема.Множество Е открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто.

Доказательство. Сначала предположим, что Е^с замкнуто. Выберем х∈Е. Тогда х∉Е^с и х не является предельной точкой множества Е^с. Значит, существует окрестность N точки х, такая, что множество E^c∩N пусто, т. е. N⊂E. Таким образом, х - внутренняя точка множества Е, и Е открыто.

Теперь предположим, что Е открыто. Пусть х - предельная точка множества Е^с. Тогда каждая окрестность точки х содержит некоторую точку множества Е^с, так что х не является внутренней точкой множества Е. Поскольку Е открыто, это значит, что х∈Е^с. Следовательно, Е^с замкнуто.

Следствие.Множество F замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение открыто.

2.26. Теорема, (а) Для любого семейства {G_α} открытых множеств множество открыто.

(d) Для любого конечного семейства F₁, ..., F_n замкнутых множеств множество замкнуто.

Доказательство. Положим Если х∈G, то х∈G_α при некотором α. Так как х - внутренняя точка множества G_α то х - внутренняя точка множества G, и G открыто. Утверждение (а) доказано.

По теореме 2.24 имеем

(21)

а по теореме 2.25 множества F^c_α открыты. Значит, из (а) следует, что множество (21) открыто, так что множество замкнуто.

Теперь положим Для любого x∈H существует окрестность N_i точки х радиуса r такая, что Положим

и пусть N - окрестность точки х радиуса r. Тогда N⊂G_i при i = 1, ..., n, так что N⊂Н, и множество Н открыто. Переходя к дополнениям, мы выведем (d) из (с):

2.27. Пример. В утверждениях (с) и (d) предыдущей теоремы конечность семейств существенна. Действительно, пусть G_n - интервал Тогда G_n - открытое подмножество прямой R¹. Положим Тогда G состоит из единственной точки (а именно, x = 0) и поэтому не является открытым подмножеством из R¹.

Таким образом, пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязано быть открытым. Подобным образом, объединение бесконечного семейства замкнутых множеств не обязано быть замкнутым.

2.28. Теорема.Пусть Е - замкнутое множество вещественных чисел, ограниченное сверху. Пусть y = sup E. Тогда у∈Е.

Сравните это утверждение с примерами 1.35.

Доказательство. Допустим, что у∉Е. Для каждого h>0 существует точка х∈Е, такая, что у - h≤x≤y, так как иначе у - h было бы верхней границей множества Е. Таким образом, каждая окрестность точки у содержит некоторую точку х множества Е, причем х≠у, так как у∉Е. Следовательно, у - предельная точка множества Е, не принадлежащая Е, так что множество Е не замкнуто. Но это противоречит условию теоремы.

2.29. Замечание. Допустим, что Е⊂Y⊂X, где X - метрическое пространство. То, что Е - открытое подмножество пространства X, означает, что с каждой точкой р∈Е связано положительное число r, для которого из условий d(p, q)<r, q∈X следует включение q∈. Но мы уже заметили (п. 2.18), что Y - тоже метрическое пространство, так что наше определение с таким же успехом можно отнести к Y. Для полной точности мы будем говорить, что множество Е открыто относительно Y, если каждой точке р∈Е отвечает число r>0, такое, что q∈E, если d(p,q)<r и q∈Y. Пример 2.23 (g) показывает, что множество может быть открытым относительно Y, не будучи открытым подмножеством пространства X. Однако между этими понятиями имеется простое соотношение, которое мы сейчас установим.

2.30. Теорема.Пусть Y⊂X. Подмножество Е множества Y открыто относительно Y тогда и только тогда, когда E = Y∩G для некоторого открытого подмножества G пространства X.

Доказательство. Допустим, что Е открыто относительно Y. Для каждого р∈Е найдется положительное число r_р, такое, что из условий d(p, q)<r_p, q∈Y следует, что q∈E. Пусть V_p - множество всех q∈X, таких, что d(p, q)<r_p; положим

Тогда по теоремам 2.21 и 2.26 G - открытое подмножество пространства X.

Поскольку р∈V_p при всех р∈Е, ясно, что Е⊂G∩Y. Согласно нашему выбору окрестности V_p, имеем V_p∩Y⊂Е при каждом р∈Е, так что G⊍Y⊂E. Таким образом, E = G⊍Y, и половина теоремы доказана.

Обратно, если множество G открыто в X и E = G⊍Y, то каждая точка р∈Е имеет окрестность V_p⊂G. Тогда V_p⊍Y⊂E, так что множество Е открыто относительно Y.