Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Упражнения

1. Пусть r - рациональное число (r≠0), a x - иррациональное. Доказать, что числа r + x и rх иррациональны.

2. Доказать, что между любыми двумя вещественными числами содержится иррациональное число.

3. Доказать, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 12.

4. Пусть x>0, y>0 и n - положительное целое число. Доказать, что


(ср. с теоремой 1.37).

5. Если х<0, а r - рациональное число (r = n/m), то положим


Доказать, что

6. Доказать, что если x>1, то xp<xq при любых рациональных р, q, таких, что p<q.

7. Определить xy для х>1 и вещественного у, используя упражнение 6 и метод теоремы 1.37, и доказать, что

(a) xy<xz, если 1<x, y<z;

(b) xy<zy, если 1<x<z, y&362;0;

(c) xy+z = xyxz.

8. Как нужно изменить упражнения 6 и 7, если 0≤x≤1?

9. Пусть b&362;1, х&362;0. Доказать, что существует одно и только одно вещественное число у, такое, что x = by. Это число у называется логарифмом х при основании b.

10. В каких пунктах нашего изложения теории вещественных чисел возникли бы трудности, если бы было опущено условие III определения 1.4?

11. Если z1, ..., zn - комплексные числа, то


12. Если х и у - комплексные числа, то


13. Теорема 1.36 была выведена из теоремы 1.32. На самом деле эти теоремы равносильны. Чтобы убедиться в этом, докажите теорему 1.32, не пользуясь сечениями в множестве рациональных чисел, а используя как постулат теорему 1.36 и обычные арифметические свойства вещественных чисел.

14. Пусть z - такое комплексное число, что т. е. z = 1. Вычислить

15. При каких условиях в неравенстве Шварца имеет место равенство?

16. Предположим, что k≥3, x, y∈Rk, Доказать, что

(a) если 2r>d, то существует бесконечное множество точек z∈Rk, таких, что


(b) если 2r = d, то существует в точности одна такая точка z;

(c) если 2r<d, то не существует таких z.

Как нужно изменить эти утверждения, если k = 2, k = 1?

17. Доказать, что


если x∈Rk, y∈Rk. Истолковать это геометрически, как некоторое утверждение о параллелограммах.

18. Доказать, что если k≥2 и х∈Rk, то существует вектор y∈Rk такой, что у≠0, но х - у = 0. Верно ли это при k = 1?

19. Пусть а∈Rk, b∈Rk. Найти c∈Rk и r>0, такие, что |x -a| = 2|х - b| тогда и только тогда, когда |х -с| = r.

(Решение: 3с = 4b - а, 3r = 2|b - а|.)

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru