НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

Евклидовы пространства

1.63. Определения. Для каждого положительного целого k обозначим через Rk множество всех упорядоченных последовательностей из k вещественных чисел


числа x1, ...,xk называются координатами элемента х. Элементы множества Rk называются точками, или векторами, особенно при k>1. Мы будем обозначать векторы буквами, набранными жирным шрифтом. Если y = (y1,...,yk) и α - вещественное число, то положим



так что x + y ∈Rk и αx∈Rk. Тем самым определено сложение векторов, а также умножение вектора на вещественное число (скаляр). Эти две операции подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности (доказательство тривиально, так как аналогичным законам подчиняются вещественные числа) и превращают Rkв векторное пространство над полем вещественных чисел. Нулевой элемент пространства Rk (иногда называемый началом, или нулевым вектором) - это точка 0, все координаты которой равны 0.

Мы определим еще так называемое скалярное (или внутреннее) произведение векторов х и у:


а также норму вектора х:


Определенная таким образом структура (векторное пространство Rk со скалярным произведением и нормой) называется евклидовым k-мерным пространством.

1.64. Теорема.Пусть х, у, z∈Rk и α-вещественное число. Тогда

(a)

(b) тогда и только тогда, когда х = 0;

(c)

(d)

(e)

(f)

Доказательство. Утверждения (а), (b) и (с) очевидны, a (d) следует непосредственно из неравенства Шварца. В силу (d), имеем


что доказывает (е). Наконец, (f) следует из (е), если заменить х на х - у, у на у - z.

1.65. Замечания. Теорема 1.64 (а), (b) и (f) позволит нам (см. гл. 2) рассматривать Rk как метрическое пространство.

Пространство R1 (множество всех вещественных чисел) обычно называют прямой, или вещественной прямой. Аналогичным образом, R2 называют плоскостью (ср. определения 1.41 и 1.63). В этих двух случаях норма - это абсолютная величина соответствующего вещественного или комплексного числа.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь