Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Евклидовы пространства

1.63. Определения. Для каждого положительного целого k обозначим через Rk множество всех упорядоченных последовательностей из k вещественных чисел


числа x1, ...,xk называются координатами элемента х. Элементы множества Rk называются точками, или векторами, особенно при k>1. Мы будем обозначать векторы буквами, набранными жирным шрифтом. Если y = (y1,...,yk) и α - вещественное число, то положим



так что x + y ∈Rk и αx∈Rk. Тем самым определено сложение векторов, а также умножение вектора на вещественное число (скаляр). Эти две операции подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности (доказательство тривиально, так как аналогичным законам подчиняются вещественные числа) и превращают Rkв векторное пространство над полем вещественных чисел. Нулевой элемент пространства Rk (иногда называемый началом, или нулевым вектором) - это точка 0, все координаты которой равны 0.

Мы определим еще так называемое скалярное (или внутреннее) произведение векторов х и у:


а также норму вектора х:


Определенная таким образом структура (векторное пространство Rk со скалярным произведением и нормой) называется евклидовым k-мерным пространством.

1.64. Теорема.Пусть х, у, z∈Rk и α-вещественное число. Тогда

(a)

(b) тогда и только тогда, когда х = 0;

(c)

(d)

(e)

(f)

Доказательство. Утверждения (а), (b) и (с) очевидны, a (d) следует непосредственно из неравенства Шварца. В силу (d), имеем


что доказывает (е). Наконец, (f) следует из (е), если заменить х на х - у, у на у - z.

1.65. Замечания. Теорема 1.64 (а), (b) и (f) позволит нам (см. гл. 2) рассматривать Rk как метрическое пространство.

Пространство R1 (множество всех вещественных чисел) обычно называют прямой, или вещественной прямой. Аналогичным образом, R2 называют плоскостью (ср. определения 1.41 и 1.63). В этих двух случаях норма - это абсолютная величина соответствующего вещественного или комплексного числа.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru