Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Расширенная система вещественных чисел

1.39. Определение. Расширенная система вещественных чисел состоит из системы вещественных чисел, к которой присоединены два символа -∞ и +∞, причем выполняются следующие свойства:

(а) если х - вещественное число, то


(б) если х>0, то



(с) если x<0, то


Если необходимо подчеркнуть различие между символами -∞, +∞, с одной стороны, и вещественными числами, с другой, то последние называют конечными*.

* (Такой способ расширения множества всех вещественных чисел не согласуется с теорией сечений, при помощи которой только что пополнялось множество всех рациональных чисел. Действительно, центральное место в теории Дедекинда занимает доказательство существования множества (иррациональных чисел), элементы которого связаны друг с другом и с рациональными числами многочисленными соотношениями (а не просто введение новых символов, удовлетворяющих определенным аксиомам). С этой точки зрения расширение множества всех вещественных чисел можно было бы "построить", рассмотрев еще два сечения: для первого из них (обозначаемого -∞) нижним классом служит пустое множество, а для второго (обозначаемого +∞) - множество всех рациональных чисел. Разумно определив смысл символов x±∞, x*±∞, отношений <, > и т. д., можно было бы доказать свойства (а), (b), (с).- Прим. перев.)

1.40. Определение. Пусть Е- множество, элементы которого принадлежат расширенной системе вещественных чисел. Если Е не ограничено сверху (т. е. если для любого вещественного у существует элемент х∈Е, такой, что y<x), то верхняя грань множества Е по определению равна +∞.

Аналогичным образом нижняя грань множества Е, не ограниченного снизу, по определению равна -∞.

Итак, в расширенной системе вещественных чисел каждое множество имеет inf и sup. Это и есть главная причина введения символов -∞ и +∞.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru