Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Глава 1. Системы вещественных и комплексных чисел

Введение

Изучение основных понятий анализа (таких, как сходимость, непрерывность, дифференцирование и интегрирование) должно-основываться на точно определенном понятии числа. Мы, однако, не будем вступать в обсуждение аксиом, которым подчиняется арифметика целых чисел, а будем исходить из системы рациональных чисел.

Мы предполагаем, что читатель знаком с арифметикой рациональных чисел (т. е. чисел вида n/m, где n и m-целые, m≠0), и только напомним основные свойства этих чисел. Сумма, разность, произведение и частное любых двух рациональных чисел - рациональное число (деление на нуль исключается); выполняются законы коммутативности



законы ассоциативности



и закон дистрибутивности


определено отношение <, задающее порядок в множестве рациональных чисел. Отношение < обладает тем свойством, что для любых рациональных чисел р и q либо p = q, либо p<q, либо q<p, оно транзитивно, т. е. если р<q и q<r, то р<r. Кроме того, р + q <0 и pq<0, если р<0 и q<0.

Хорошо известно, что система рациональных чисел обладает многими недостатками. Например, не существует рационального числа р, такого, что р2 = 2 (мы это вскоре докажем). Это делает необходимым введение так называемых "иррациональных чисел", которые часто записываются в виде бесконечных десятичных разложений, причем соответствующие конечные десятичные дроби считаются их приближениями. Так, последовательность


"стремится к Но до тех пор, пока мы не определили иррациональное число остается открытым вопрос: к чему же все-таки стремится эта последовательность?

Главная цель этой главы и состоит в том, чтобы дать необходимое определение.

1.1.Пример. Сначала покажем, что никакое рациональное число р не удовлетворяет уравнению

(1) p2 = 2.

Действительно, предположим, что это не так. Тогда существует удовлетворяющее уравнению (1) число p = m/n, где n, m - целые, причем хотя бы одно из них нечетно.

Подставляя в уравнение (1), получаем

(2) m2 = 2n2.

ЭТО показывает, что m2 -четное число. Значит, m четно (если бы т было нечетным, то и m2 было бы нечетным) и, следовательно, m2 делится на 4. Поэтому правая часть равенства (2) делится на 4, так что n2 четно, откуда следует, что и n четно.

Таким образом, предположение о том, что выполнено равенство (1), заставляет нас заключить, что оба числа n, m-четные, вопреки нашему выбору n и m. Значит, равенство (1) невозможно при рациональном р.

Исследуем теперь подробнее эту ситуацию. Пусть А - множество всех положительных рациональных р, таких, что р2<2, и пусть множество В состоит из всех положительных рациональных р, таких, что р2>2. Мы покажем, что А не содержит наибольшего числа, а B не содержит наименьшего.

Точнее, мы докажем, что для любого р из А можно найти рациональное число q из А, такое, что р<q и для любого р из В мы можем найти рациональное число q из В, такое, что q<р.

Пусть р принадлежит А. Тогда р2<2. Выберем рациональное A, такое, что

0<h<1

и


Положим q = p + h. Тогда q>p и


так что q находится в А. Этим доказана первая часть нашего утверждения.

Предположим теперь, что р принадлежит В. Тогда р2>2. Положим


Тогда 0<q<p и


так что q принадлежит В.

1.2. Замечание. Цель приведенного выше рассуждения - показать, что в системе рациональных чисел имеются некоторые пробелы, несмотря на то что между любыми двумя рациональными числами находится третье [ибо p<(p+q)/2<q, если р<q]. Сейчас мы опишем предложенный Дедекиндом процесс, который позволяет заполнить эти пробелы и приводит нас к вещественным числам. Чтобы не увеличивать объема книги, мы не везде будем проводить рассуждения во всех деталях. Полное изложение, начинающееся с целых чисел, можно найти в книге Ландау "Основы анализа", где речь идет только об этой числовой системе.

1.3. Обозначения. Если A-множество (элементами которого могут быть числа или любые другие объекты), то запись х ∈А означает, что х принадлежит (или является элементом) А. Если х не является элементом A, мы будем писать х∉ А.

Множество, не содержащее ни одного элемента, мы будем называть пустым множеством. Если множество содержит хотя бы один элемент, то оно называется непустым.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru