НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

3.5. Сопряжённые операторы

Пусть A - непрерывный линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве H. Зафиксировав y∈H, рассмотрим скалярное произведение f(x)=(Ax,y) как функционал относительно переменной x∈H. Оператор A линеен, то есть функционал линеен по переменной и ограничен, так как По теореме Рисса о виде непрерывного линейного функционала, заданного в гильбертовом пространстве, имеет место равенство 9Ax,y)=(x,z). Здесь элемент однозначно определен элементом y и оператором A, то есть определяет некий оператор A* как z=A*y. Оператор А* называется сопряженным с оператором А.

Определение 1. Оператор A* называют сопряженным с оператором A. Другими словами, оператор A* называется сопряжённым с оператором A, если ∀ x,y∈H скалярное произведение (Ax,y)=(x,A*y). Оператор A называется самосопряжённым, если A=A*, унитарным, если A*=A-1, и нормальным, если A*A=AA*.

Рассмотрим пространство H*=L(H,R) непрерывных линейных функционалов, заданных на гильбертовом пространстве H и сопряженное с гильбертовым пространством H.

Определение 3. Последовательность {xn} в гильбертовом пространстве H называется слабо сходящейся к элементу x∈H, если ∀f∈H*{f(xn)}→f(x), то есть

(Комментарий. 1. Значение функционала f∈H* в точке x∈H обозначается как скалярное произведение f(x)=(f,x). Тогда сопряжённый оператор можно определить как f(Ax)=(f,Ax)=(A*f,x). Но это просто обозначение, маскирующее отсутствие в B-пространствах скалярного произведения. Даже в конечномерном случае, когда имеет смысл скалярного произведения, вектор x∈H контравариантен, а f∈H* вектор это вектор коэффициентов преобразований и он ковариантен. Эти векторы находятся в разных пространствах и по-разному преобразуются при смене системы координат.

2. Напомним, что сходимость по норме пространства носителей это обычная сходимость, когда xn→x, то есть ||xn-x||n→∞→0. Её называют сильной. Если носителем является пространство C[a,b], то такая сходимость называется равномерной сходимостью. В пространстве непрерывных линейных операторов L(X,Y) сходимость ||An-A|||n→∞→ 0 всегда называется равномерной сходимостью. Если же ∀x∈X то такая сходимость в пространстве L(X,Y) называется поточечной или сильной. Используя понятие сопряжённого пространства, в пространстве носителей можно ввести и другой тип сходимости, то есть другую топологию, а именно слабую сходимость. Но это, по сути, поточечная сходимость. Сильная сходимость влечёт слабую, так как |f(xn)-f(x)|=|f(xn-x)|≤||f||*||xn-x||, и при то есть сильно,|f(xn)-f(x)| → 0, то есть слабо. Обратное, вообще говоря, неверно. Пусть базис в гильбертовом пространстве H и функционал f∈H*. Из теоремы Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве, f(ei)=(ei,x) ∀x∈H. Ясно, что последовательность {ei} не стремится к нулю, она даже не фундаментальна, так как ||ei-ej||2=2. Но по свойству коэффициентов Фурье последовательность {(ei,x)}i→∞→0, то есть слабо.)

Пример 1. Пусть оператор Фредгольма, где функция K(x,ξ), то есть ядро оператора A удовлетворяет условию Гильберта-Шмидта Тогда Но с другой стороны, то есть K*(x,ξ)=K(x,ξ).

Итак, оператор A* также является оператором Фредгольма с ядром K*(x,ξ)=K(x,ξ) ∀x,ξ∈[a,b]. Если K(x,ξ)=K(ξ,x) ∀x,ξ∈[a,b], то ядро K(x,ξ) называется симметрическим. В этом случае, при L2[a,b]→L2[a,b], интегральный оператор является самосопряженным. Если ядро интегрального оператора не симметрическое, то оператор не самосопряжён.

Пример 2. Рассмотрим в пространстве Rn оператор A:Rn→Rn, то есть Ax=y, причём x,y∈Rn, x={x1, x2,...,xn}, а . По определению (Ax,y)=(x,A*y), то есть Поменяв местами индексы, сразу получим, что a*i,j=aj,i, то есть переход к сопряженному оператору в действительном n-мерном пространстве означает транспонирование матрицы этого оператора.

Пример 3. Показать, что если в гильбертовом пространстве H последовательность xn слабо сходится к x и то последовательность xn сходится сильно.

В силу непрерывности скалярного произведения ((xn,xn)-(xn,x)-(x,xn)+(x,x))|n→∞→0 то есть что и означает сходимость по норме, то есть сильную сходимость.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru