3.3.1. Замкнутость линейных операторов

Определение 1. Линейный оператор А, действующий из банахова пространства X в банахово пространство Y, называется замкнутым, если для любой сходящейся последовательности {x_n}∈D(A)⊂X, такой, что эта последовательность {x_n}→x∈D(A), соответствующая последовательность {A_n}→y, где элемент y=Ax.

(Комментарий. Из определения следует, что если D(A)=X, то непрерывный линейный оператор всегда замкнут (НЛО всегда ЗЛО: "теорема о пришельцах"). Обратное, вообще говоря, неверно. То есть существуют замкнутые линейные операторы с областью определения, плотной в X, которые не являются непрерывными.)

Пример 1. Покажем, что оператор дифференцирования Dx(t) не ограничен, если действует из C[0,1] в C[0,1].

Пусть оператор дифференцирования D действует из C[0,1] в C[0,1], то есть операторное уравнение имеет вид Dx(t)=x'(t). Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную. Характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве. В пространстве C[0,1] норма Возьмем из C[0,1] последовательность x_n(t)=tⁿ. Она ограничена в C[0,1]: Рассмотрим Dx_n(t)=x_n'(t)=nt^n-1. Тогда Таким образом, оператор D переводит ограниченное множество в неограниченное, то есть этот оператор не является ограниченным. Такая же ситуация с последовательностью В C[a,b] норма

а Тогда то есть оператор дифференцирования Dx(t) не ограничен и, следовательно, не является непрерывным. Это значит, что прямая задача некорректна на данной паре пространств C[a,b]→C[a,b].

Пример 2. Если в пространстве исходных данных X выбрать более сильную норму, то ситуация изменится.

Рассмотрим пространство X как пространство C¹[a,b]⊂C[a,b], а пространство Y - как пространство C[a,b]. Тогда Теперь и задача дифференцирования стала корректной, но на паре пространств C¹[a,b]→C[a,b].

Пример 3. На паре пространств C[a,b]→C[a,b] оператор дифференцирования является замкнутым, если область его определения есть C¹[a,b].

Действительно, пусть последовательность {x_n(t)}→x(t) в D(A)⊂X, D(A)=C¹[a,b]. Тогда последовательности {x_n(t)}→x(t) и {x'_n(t)}→y(t) сходятся равномерно на сегменте [a,b] и работает теорема о почленном дифференцировании последовательности функций. Отсюда то есть функция x(t) принадлежит области определения оператора Dx(t) и y=Dx. Но это и означает замкнутость оператора D.

Пример 4. Заметим, что хотя на паре пространств C¹[a,b]→C[a,b] прямая задача дифференцирования корректна, обратная не корректна, так как оператор Dx(t) является вырожденным. Его ядро нетривиально и состоит из функций x(t)=c. Чтобы найти D^-1, нужно для любой функции y(t)∈C¹[a,b] решить уравнение Dx(t)=y(t). Но первообразная непрерывной функции определяется с точностью до постоянной элемента из KerDx(t) оператора Dx(t). Поэтому обратный оператор не существует. Для того чтобы он существовал, то есть задача стала корректной, надо поставить задачу Коши. Определим, например, оператор Dx(t) на подпространстве C¹₀[a,b]⊂C¹[a,b] непрерывно дифференцируемых функций x(t), удовлетворяющих условию x(0)=0. Решение этой задачи Коши есть тогда

Определение 2.Прямым произведением X*Y линейных пространств X и Y называют множество всех упорядоченных пар Z={z=(x,y)}, x∈X, y∈Y, причём z₁+z₂=(x₁+x₂,y₁+y₂), λz = (λx,λy), где λ - произвольное число.

(Комментарий. Нетрудно видеть, что Z - линейное пространство. Если X и Y - нормированные пространства, то Z - нормированное пространство с нормой ||z||=||x||_X+||y||_Y.)

Определение 3. Пусть оператор A действует из банахова пространства X в банахово пространство Y. Графиком оператора A называется множество пар z=(x,Ax)∈Z, то есть ГрА⊂Z.

Определение 4. Пусть D(A) - линейное многообразие пространства X. График оператора A замкнут, если из того, что ∀{x_n}∈D(A):x_n→x ⇒{Ax_n}→y следует, что x∈D(A), а Ax=y.

Таким образом, линейный оператор A, действующий из D(A)⊂X в банахово пространство Y, замкнут, если его график есть замкнутое линейное подпространство пространства Z=X*Y.

Теорема 1. Пусть , где А - замкнутый линейный оператор, имеющий обратный оператор A^-1. Тогда A^-1 также является замкнутым.

График оператора A^-1 может быть получен из графика оператора А путем ''перестановки" точек: ГрА=(x,Ax)=(y,A^-1y)=ГрА^-1 - это одни и те же точки.

Пример 5. Посмотрим теперь на оператор дифференцирования как на обратный к оператору интегрирования Ax(t), заданному на паре пространств c[a,b]→C[a,b]. Равномерно сходящуюся последовательность функций всегда можно почленно интегрировать, то есть и оператор интегрирования непрерывен. Тогда по "теореме о пришельцах" он замкнут. Обратным к ему является оператор дифференцирования, который замкнут согласно теореме1.

(Комментарий. Почти очевидно, что пространство Z=X*Y - банахово пространство, если X и Y только если и банаховы. Если D(A)=X, то НЛО всегда ЗЛО. Когда верно обратное?)

Теорема 2 (Теорема Банаха о замкнутом графике). Пусть где линейный оператор A, отображающий всё банахово пространство X на всё банахово пространство Y, имеет замкнутый график. Тогда A - линейный непрерывный оператор.

1. Покажем, что ГрА есть подпространство Z=X*Y. Пусть (x₁,Ax₁)∈ГрА и (x₂,Ax₂)∈ГрА. Тогда их линейная комбинация λ₁(x₁,Ax₁)+λ₂(x₂,Ax₂)=(λ₁x₁,Aλ₁x₁)+(λ₂x₂,Aλ₂x₂)=(λ₁x₁+λ₂x₂)+A(λ₁x₁+λ₂x₂)∈ГрА. Поскольку оператор А - ЗЛО по условию, то ГрА замкнут в X*Y, то есть это подпространство.

2. На подпространстве ГрА⊂X*Y (замкнутое подпространство банахова пространства само является банаховым пространством) рассмотрим оператор проецирования P, действующий по правилу ∀(x,Ax)∈ГрА P(x,Ax)=x. Это линейный оператор, так как λ₁(x₁,Ax₁)+λ₂(x₂,Ax₂)=(λ₁x₁,Aλ₁x₁)+(λ₂x₂,Aλ₂x₂)=(λ₁x₁+λ₂x₂)+A(λ₁x₁+λ₂x₂)∈ГрА. Таким образом, оператор P биективно отображает банахово пространство ГрА на банахово пространство X. Покажем, что он непрерывен: Тогда по теореме Банаха о гомеоморфизме существует непрерывный линейный обратный оператор P^-1: то есть Тогда A - линейный непрерывный оператор.

(Комментарий. Для оператора A, отображающего всё банахово пространство X на всё банахово пространство Y, понятия замкнутости и непрерывности совпадают. Выясним, при каких условиях эти понятия совпадают, если D(A)⊂X.)

Теорема3 (Критерий замкнутости линейного оператора). Пусть где пространства и банаховы. Линейный непрерывный оператор А замкнут, если и только если множество D(A)⊂X замкнуто.

Необходимость.

Пусть оператор A - НЛО и множество D(A)⊂X замкнуто. Покажем, что A замкнут. Рассмотрим последовательность x_n∈D(A):{x_n}→x, {Ax_n}→y. Так как множество D(A)замкнуто, x∈D(A) а из того, что оператор A непрерывен, следует, что Ax=y, что и означает замкнутость оператора A.

Достаточность.

Пусть оператор A - НЛО и замкнут. Покажем, что множество D(A)⊂X замкнуто. Пусть x_n∈D(A),{x_n}→x, а x - предельная точка D(A). Тогда ||Ax_p-Ax_q

||≤||A||*||x_p-x_q||, то есть последовательность {Ax_n} фундаментальна. Так как пространство Y банахово, то последовательность {Ax_n}→y, а из замкнутости оператора A следует, что Ax=y.