НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

III. Пространства операторов

3.1. Определение линейного оператора

Пусть X и Y - нормированные пространства, оба вещественные или оба комплексные или линейные топологические пространства.

Определение 1. Линейным оператором, действующим из пространства X в пространство Y, называется отображение A:X→Y или Ax = y или Au = f (если u∈U, f∈F, где U и F - пространства функций), удовлетворяющее условию A(λ1x12x2) = λ1Ax12Ax2, где ∀λ12∈R, ∀x1, x2∈ X.

Пример 1. Пусть I:X→X по правилу Ix = x ∀x∈X, то есть оператор I переводит каждый вектор пространства X в себя. Ясно, что A(λ1x12x2) = λ1Ax12Ax2. Это единичный оператор. Соответственно, нулевой оператор 0x = 0 ∀x∈X переводит каждый вектор пространства X в нулевой вектор пространства Y.

(Комментарий. Те, кто считает, что слово единица пишется через "E", единичный оператор обозначают буквой E. Символ 0 теперь может означать либо число нуль, либо нулевой вектор пространства X, либо нулевой вектор пространства Y, либо нулевой оператор, действующий из пространства X в пространство Y.)

Пример 2. Пусть X,Y - конечномерные эвклидовы пространства, базис в пространстве X, а базис в пространстве Y. Тогда ∀x∈X верно, что Оператор A линеен, то есть Но каждый из векторов Axj лежит в пространстве Y и поэтому может быть разложен по базису : Тогда Совокупность чисел называется матрицей оператора A. Совокупность чисел называется матрицей оператора A. То есть каждому оператору A соответствует некоторая матрица αkj и наоборот, каждой матрице соответствует некоторый линейный оператор A. Поскольку векторы линейно независимы, то коэффициенты при векторе yk в левой и правой частях последней формулы должны совпадать, то есть или

Определение 2. Оператор А ограничен, если для любых x ∈X, справедлива оценка ||Ax||≤c*||x||, где с - постоянная. Точная нижняя грань всех таких констант с называется нормой оператора А и обозначается ||A||. Другими словами, ||A|| = inf c.

Комментарий. По определению нормы, ∀x∈X ||Ax||≤||A||*||x||, то есть норма ||A||, во первых, одна из верхних граней, а во вторых ∀ε>0 ∃xε∈X:||Axε||>(||A||-ε)*||xε||, что означает несдвигаемость верхней грани.

Теорема 1.

Обозначим Покажем, что Так как ||x||≤1, то ∀x:||x||≤1 ||Ax||≤||A||*||x||≤||A||. Тогда С другой стороны, из несдвигаемости верхней грани следует, что ∀ε>0 ∃xε∈X:||Axε||>(||A||-ε)-||xε||. Рассмотрим элемент Тогда для него Но норма ||ξε|| = 1, поэтому В силу произвольности ε, сразу получаем Таким образом, Но одновременно , то есть Покажем теперь, что выполняются и остальные равенства. Для этого докажем, что α≥β≥γ≥α. Первое неравенство α≥β очевидно, поскольку в обеих его частях супремум берется от одной и той же величины ||Ax||. Второе неравенство β≥γ следует из того, что для любого ||x||≠0 Третье неравенство γ≥α следует из того, что для любого ||x||≠0 и ||x||≤1 имеем

(Комментарий. Для числовых функций линейная функция всегда ограничена. В конечномерных пространствах любой линейный оператор является ограниченным. Для линейного оператора в бесконечномерных пространствах это, вообще говоря, не так.)

Пример 3. Оператор дифференцирования. Пусть оператор дифференцирования D действует из C[0,1] в C[0,1], то есть оператор Dx(t) = x'(t). Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную. В пространстве Cp0,1] норма Достаточно указать один элемент пространства, для которого ограниченность не имеет места. Возьмем из C[0,1] последовательность xn(t) = tn. Она ограничена в C[0,1], так как Рассмотрим Dxn(t) = xn'(t) = ntn-1 Тогда норма Таким образом, оператор D переводит ограниченное множество в неограниченное, то есть этот оператор не является ограниченным. Такая же ситуация с последовательностью В C[a,b] норма а Тогда при n→∞ тоже стремится к бесконечности, то есть оператор дифференцирования А неограничен, то есть не является непрерывным. Но если в пространстве исходных данных Х выбрать более сильную норму, то ситуация изменится. Рассмотрим пространство Х как пространство C1[a,b] ⊂ C[a,b] а пространство У как пространство С[a,b]. Тогда Теперь

Пример. Линейный функционал в пространствах R2, R21, R22 в точках (1,2) и (3,4) равен числам 5 и 6 соответственно. Найти его значение в точке (7,8) и норму.

Указание. Линейный функционал, заданный на плоскости, имеет вид f = ax+by, то есть это плоскость, проходящая через начало координат. Максимум этой функции на единичных шарах в соответствующих пространствах и будет нормой. Её можно найти, как условный экстремум функции f(t), где условиями будут уравнения соответствующих единичных шаров. Для пространств R2, R21 легко сообразить, что максимум возможен только на стыках соответствующих отрезков, описывающих единичные шары. Для пространства R22 можно воспользоваться гармоническим преобразованием.

Пример. Значение линейного функционала в R22 в точке (1,1) равно -1, а его норма равна Найти его значение в точке (7,8).

Линейный функционал, заданный на плоскости, имеет вид f = ax+by, то есть это плоскость, проходящая через начало координат. Его норма - это максимальное значение этой функции на единичном шаре в R22. Таким образом, имеем симметрическую СЛАУ

Эту задачу можно решить с помощью теоремы Рисса, которую мы рассмотрим позже.

Пример. Значение линейного функционала в R2, R21 в точке (1,1) равно -1, а его норма равна 12. Найти его значение в точке (7,8).

(Комментарий. Из геометрического смысла понятия нормы видно, что общий вид линейного функционала в пространствах Rn, Rn1, Rn2 задаётся формулой где &38704;ai∈R. Нормы же их определяются выражениями )

Пример. Рассмотрим преобразование двумерного пространства X в двумерное пространство Y оператором A, причём матрица линейного оператора A невырождена и имеет вид У такого оператора можно посчитать конечное значение норм входного и выходного элементов, максимальное значение этого отношения на всем множестве определения дает согласованную норму самого этого оператора. Грубо говоря, это максимальный "коэффициент усиления" преобразования.

1. Рассмотрим преобразование R22→R22, где точки M1(x1,x2), M2(x˜1,x˜2)∈X а точки N1(y1,y2), N1(y˜1,y˜2)∈Y. Тогда y1 = a11x1+a12x2, а y2 = a21x1+a22x2. Обозначим Δx1 = x1 - x˜1, Δx2 = x2 - x˜2. Тогда ρ2(N1,N2) = (a11Δx1+a12Δx2)2+(a21Δx1+a22Δx2)2. Запишем это как скалярное произведение и воспользуемся неравенством Буняковского-Коши. Тогда ρ2(N1,N2)≤(a112+a122+a212+a222)1/2 ρ2(M1,M2), то есть а норма называется эвклидовой.

2. Рассмотрим преобразование R21→R21.

ρ(N1,N2) = |y1-y˜1|+|y2-y˜2| = |Δy1|+|Δy2| = |a11Δx1+a12Δx2|+|a21Δx2+a22Δx2|≤(|a11|+|a21|)Δx1+(|a12|+|a22|)Δx2≤max {|a11|+|a21|,|a12|+|a22|}ρ(M1,M2). Тогда ||A||1 = max {|a11|+|a21|,|a12|+|a22|}. Такая норма называется столбиковой.

3. Рассмотрим преобразование R2→R2.

Тогда ||A|| = max {|a11|+||a12|,||a21|+|a22|}. Такая норма называется строчной.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь