2.7. Компактность в метрических пространствах

(Комментарий. 1. В классическом анализе в соответствии с теоремой Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Однако в бесконечномерных метрических пространствах это, вообще говоря, не так. Приедем два очевидных примера. Рассмотрим в метрическом пространстве l₂ последовательность {e_k}, где Она лежит на сфере S(0,1) , то есть ограничена, но не фундаментальна, так как Это значит, что из неё нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность. Второй пример в пространстве С[0,1] даёт последовательность {y_n} = Asin2ⁿπx. Эта последовательность, очевидно, замкнута и ограничена в C[0,1]. Однако из неё тоже нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность. Чтобы это показать, рассмотрим ||y_n(x)-y_m(x)||≥|y_n(x₀)-y_m(x₀)| ∀ x₀∈[0,1]. Выберем Тогда при m = n+1 + k видно, что |y_n(x₀)-y_m(x₀)| = π, то есть ни сама последовательность, ни любая её подпоследовательность даже не фундаментальны.

2. В конечномерном случае, в соответствии с теоремой Вейерштрасса, любая непрерывная функция (функционал), заданная на замкнутом, ограниченном множестве, достигает на нём своих точных верхней и нижней граней. Однако рассмотрим в пространстве C[0,1] множество всех функций x(t): x(0) = 0, x(1) = 1, ||x(t)||≤1. Это замкнутое ограниченное множество, на котором определим функционал Покажем, что он непрерывен. Пусть {x_n(t)} →x₀(t), причём сходимость равномерная по теореме Кантора. Тогда по свойству равномерно сходящихся последовательностей то есть функционал непрерывен. Ясно, что Более того, для любой непрерывной функции, соединяющей точки (0,0) и (1,1), функционал f9x)&362;0. Рассмотрим непрерывную функцию x(t)=tⁿ. Тогда то есть inf f(x) =0, но он не достижим. Однако доказательство теоремы Вейерштрасса опирается на теорему Больцано Вейерштрасса. Надо хотя бы отгородиться от этих неприятностей.)

Определение 1. Пусть (X,ρ) - метрическое пространство. Множество M⊂X называется компактом, если из любой последовательности {x_n}∈X можно выделить подпоследовательность, {x_nk}→x∈M.

Определение 2. Если замыкание множества M - компакт, то множество M⊂X называется предкомпактом (то есть подпоследовательность {x_nk} сходится к элементу из замыкания).

(Комментарий. Компракт и предкомпакт называют компактными множествами. Ясно, что компакт подпространство полного метрического пространства или само полное метрическое пространство. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, множество [0,1]∈R - компакт, так как из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, но всё пространство R с метрикой ρ=|x-y| не компактно, так как из последовательности {1,2,3,...} сходящуюся подпоследовательность выделить нельзя. По тем же соображениям пространство Rⁿ_p не компактно, хотя любое его замкнутое ограниченное подмножество уже компакт. Пространства l₂ и C[a,b] не компактны. Более того, ранее мы показали, что в них существуют замкнутые, ограниченные множества, не являющиеся компактами.)

Теорема 1. В любом метрическом пространстве X если множество K компакт, то множество K замкнуто и ограничено.

Пусть произвольная последовательность {x_n}∈K сходится к x₀∈X. Так как множество K - компакт, то из последовательности {x_n} можно выделить подпоследовательность {x_nk}→x∈K. Но любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к пределу последовательности, то есть x=x₀. Ограниченность очевидна.

(Комментарий. В полном метрическом пространстве счётное пересечение замкнутых, вложенных шаров, радиусы которых не стремятся к нулю, может быть пустым. Для компактов это невозможно. )

Теорема 2 (Теорема Кантора о пересечении замкнутых, вложенных шаров). Пусть последовательность непустых компактных множеств, вложенных друг в друга, то есть ₁⊂₂⊂₃⊂.... Тогда не пусто.

Выберем в шаре ₁ точку x₁∉₂, в шаре ₂ точку x₂∉₂ и так далее. Ясно, что последовательность {x_i}∈₁, а так как ₁ - компакт, то из последовательности {x_ik}→x₀ можно выделить подпоследовательность , все члены которой, начиная с некоторого номера, попадут в какой-то шар ₁, и x₀∈₁, так как шар _i замкнут. Но тогда

Определение 3. M и E - подмножества метрического пространства X. Множество E называется ε-сетью (скелетом) для множества M, если ∀ε>0 и ∀x∈M∃x_i∈E:ρ(x,x_i)<ε

Определение 4. Множество M⊂X вполне ограничено (полностью ограничено), если ∀ε>0 оно имеет конечную ε-сеть ("конечный скелет").

Теорема 3. Вполне ограниченное множество метрического пространства ограничено.

Пусть М - вполне ограниченное множество метрического пространства Х, а его конечная ε-сеть, x∈X - произвольная точка, а x₀∈X - некоторая фиксированная точка. Тогда, используя неравенство треугольника, получим ρ(x₀,x)≤ρ(x₀,x_k)+ρ(x_k,x)<max_kρ(x₀,x_k)+ε<∞. Это неравенство и означает ограниченность множества М, так как ρ(x₀,x_k) просто конечный набор k чисел.

(Комментарий. Обратное, вообще говоря, неверно.

2. Рассмотрим в пространстве l₂ с метрикой единичную сферу S, то есть все последовательности вида Все образуют ограниченное, но не вполне ограниченное множество, так как то есть, например, при его нельзя накрыть конечной ε-сетью.)

Теорема 4. Компактное метрическое пространство Х сепарабельно.

Возьмём последовательность Так как пространство Х вполне ограничено, то для каждого ε_т существует конечная ε-сеть E_n. Тогда объединение является счётным и всюду плотным в Х множеством. А это и означает сепарабельность пространства Х.

Теорема 5 (Критерий Фреше - Хаусдорфа). Пусть X - полное метрическое пространство, а M⊂X. Множество M - компактно, если и только если M вполне ограничено в X.

Необходимость.

Пусть множество M - компакт. Покажем полную ограниченность множества M. Зафиксируем ε>0, выберем произвольную точку x₁∈M и построим открытый шар B₁(x₁,ε). Может случиться так, что ∀x∈M⊂B₁(x₁,ε). Это означает, что точка x₁ образует конечную ε-сеть для множества M, состоящую из одного элемента, то есть теорема доказана. Если это не так, то ∃x₂∈M, x₂∉B₁(x₁,ε):ρ(x₁,x₂)>ε. Если теперь ∀x∈M⊂(B₁(x₁,ε)∪B₂(x₂,ε)), то точки x₁ и x₂ образуют конечную ε-сеть для M, состоящую из двух элементов, то есть теорема доказана. Если это не так, то ∃x₃∉(B₁(x₁,ε)∪B₂(x₂,ε)):ρ(x₂,x₃)>ε. Если процесс закончится, то конечная ε-сеть построена, а если нет, то не фундаментальна, так как ρ(x_i,x_j)≥ε, то есть не сходится, что противоречит определению компакта.

Достаточность.

Пусть M⊂X - вполне ограниченное множество в полном метрическом пространстве (X,ρ). Покажем, что M - компактно. Так как M полностью ограниченно, то для любого ε>0 в метрическом пространстве (X,ρ) существует конечная ε-сеть для множества M, то есть существует конечное покрытие элементов из M открытыми шарами радиуса ε. Пусть {x_n} - произвольная последовательность элементов из M. Тогда, в соответствии с принципом Вейерштрасса, существует хотя бы один шар, содержащий бесконечное число членов последовательности {x_n}, то есть содержащий подпоследовательность {x_nk}, расстояние между элементами которой меньше ε. Пусть Выделим из последовательности {x_n} подпоследовательность {x_nk¹}, расстояние между элементами которой меньше ε=1. Из этой подпоследовательности выделим подпоследовательность {x_nk²}, расстояние между элементами которой меньше и так далее. Таким образом, мы получили последовательность подпоследовательностей {x_nk^(k)}. Тогда члены "диагональной" последовательности {x_nk⁽ⁿ⁾}, начиная с некоторого номера k, принадлежат k-й подпоследовательности, то есть То есть последовательность {x_n} фундаментальна, а так как пространство (X,ρ) полное, то x_n|_n→∞→x∈X, и M⊂X компакт или предкомпакт.

Определение 5. В полном метрическом пространстве компакт это замкнутое, вполне ограниченное множество.

(Комментарий. Итак, в полном метрическом пространстве полная ограниченность и компактность суть равносильные понятия. Заметим, что в Rⁿ всякое замкнутое ограниченное множество компактно, всякое компактное множество замкнуто и ограниченно.)