НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

2.7. Компактность в метрических пространствах

(Комментарий. 1. В классическом анализе в соответствии с теоремой Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Однако в бесконечномерных метрических пространствах это, вообще говоря, не так. Приедем два очевидных примера. Рассмотрим в метрическом пространстве l2 последовательность {ek}, где Она лежит на сфере S(0,1) , то есть ограничена, но не фундаментальна, так как Это значит, что из неё нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность. Второй пример в пространстве С[0,1] даёт последовательность {yn} = Asin2nπx. Эта последовательность, очевидно, замкнута и ограничена в C[0,1]. Однако из неё тоже нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность. Чтобы это показать, рассмотрим ||yn(x)-ym(x)||≥|yn(x0)-ym(x0)| ∀ x0∈[0,1]. Выберем Тогда при m = n+1 + k видно, что |yn(x0)-ym(x0)| = π, то есть ни сама последовательность, ни любая её подпоследовательность даже не фундаментальны.

2. В конечномерном случае, в соответствии с теоремой Вейерштрасса, любая непрерывная функция (функционал), заданная на замкнутом, ограниченном множестве, достигает на нём своих точных верхней и нижней граней. Однако рассмотрим в пространстве C[0,1] множество всех функций x(t): x(0) = 0, x(1) = 1, ||x(t)||≤1. Это замкнутое ограниченное множество, на котором определим функционал Покажем, что он непрерывен. Пусть {xn(t)} →x0(t), причём сходимость равномерная по теореме Кантора. Тогда по свойству равномерно сходящихся последовательностей то есть функционал непрерывен. Ясно, что Более того, для любой непрерывной функции, соединяющей точки (0,0) и (1,1), функционал f9x)&362;0. Рассмотрим непрерывную функцию x(t)=tn. Тогда то есть inf f(x) =0, но он не достижим. Однако доказательство теоремы Вейерштрасса опирается на теорему Больцано Вейерштрасса. Надо хотя бы отгородиться от этих неприятностей.)

Определение 1. Пусть (X,ρ) - метрическое пространство. Множество M⊂X называется компактом, если из любой последовательности {xn}∈X можно выделить подпоследовательность, {xnk}→x∈M.

Определение 2. Если замыкание множества M - компакт, то множество M⊂X называется предкомпактом (то есть подпоследовательность {xnk} сходится к элементу из замыкания).

(Комментарий. Компракт и предкомпакт называют компактными множествами. Ясно, что компакт подпространство полного метрического пространства или само полное метрическое пространство. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, множество [0,1]∈R - компакт, так как из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, но всё пространство R с метрикой ρ=|x-y| не компактно, так как из последовательности {1,2,3,...} сходящуюся подпоследовательность выделить нельзя. По тем же соображениям пространство Rnp не компактно, хотя любое его замкнутое ограниченное подмножество уже компакт. Пространства l2 и C[a,b] не компактны. Более того, ранее мы показали, что в них существуют замкнутые, ограниченные множества, не являющиеся компактами.)

Теорема 1. В любом метрическом пространстве X если множество K компакт, то множество K замкнуто и ограничено.

Пусть произвольная последовательность {xn}∈K сходится к x0∈X. Так как множество K - компакт, то из последовательности {xn} можно выделить подпоследовательность {xnk}→x∈K. Но любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к пределу последовательности, то есть x=x0. Ограниченность очевидна.

(Комментарий. В полном метрическом пространстве счётное пересечение замкнутых, вложенных шаров, радиусы которых не стремятся к нулю, может быть пустым. Для компактов это невозможно. )

Теорема 2 (Теорема Кантора о пересечении замкнутых, вложенных шаров). Пусть последовательность непустых компактных множеств, вложенных друг в друга, то есть 123⊂.... Тогда не пусто.

Выберем в шаре 1 точку x12, в шаре 2 точку x22 и так далее. Ясно, что последовательность {xi}∈1, а так как 1 - компакт, то из последовательности {xik}→x0 можно выделить подпоследовательность , все члены которой, начиная с некоторого номера, попадут в какой-то шар 1, и x01, так как шар i замкнут. Но тогда

Определение 3. M и E - подмножества метрического пространства X. Множество E называется ε-сетью (скелетом) для множества M, если ∀ε>0 и ∀x∈M∃xi∈E:ρ(x,xi)<ε

Определение 4. Множество M⊂X вполне ограничено (полностью ограничено), если ∀ε>0 оно имеет конечную ε-сеть ("конечный скелет").

Теорема 3. Вполне ограниченное множество метрического пространства ограничено.

Пусть М - вполне ограниченное множество метрического пространства Х, а его конечная ε-сеть, x∈X - произвольная точка, а x0∈X - некоторая фиксированная точка. Тогда, используя неравенство треугольника, получим ρ(x0,x)≤ρ(x0,xk)+ρ(xk,x)<maxkρ(x0,xk)+ε<∞. Это неравенство и означает ограниченность множества М, так как ρ(x0,xk) просто конечный набор k чисел.

(Комментарий. Обратное, вообще говоря, неверно.

1. Рассмотрим в пространстве l с метрикой ρ=sup|ξii| любую последовательность, составленную из нулей и единиц. Она ограничена, но не вполне ограничена, так как расстояние между любыми парами элементов равно единице и при её нельзя накрыть конечной ε-сетью.

2. Рассмотрим в пространстве l2 с метрикой единичную сферу S, то есть все последовательности вида Все образуют ограниченное, но не вполне ограниченное множество, так как то есть, например, при его нельзя накрыть конечной ε-сетью.)

Теорема 4. Компактное метрическое пространство Х сепарабельно.

Возьмём последовательность Так как пространство Х вполне ограничено, то для каждого εт существует конечная ε-сеть En. Тогда объединение является счётным и всюду плотным в Х множеством. А это и означает сепарабельность пространства Х.

Теорема 5 (Критерий Фреше - Хаусдорфа). Пусть X - полное метрическое пространство, а M⊂X. Множество M - компактно, если и только если M вполне ограничено в X.

Необходимость.

Пусть множество M - компакт. Покажем полную ограниченность множества M. Зафиксируем ε>0, выберем произвольную точку x1∈M и построим открытый шар B1(x1,ε). Может случиться так, что ∀x∈M⊂B1(x1,ε). Это означает, что точка x1 образует конечную ε-сеть для множества M, состоящую из одного элемента, то есть теорема доказана. Если это не так, то ∃x2∈M, x2∉B1(x1,ε):ρ(x1,x2)>ε. Если теперь ∀x∈M⊂(B1(x1,ε)∪B2(x2,ε)), то точки x1 и x2 образуют конечную ε-сеть для M, состоящую из двух элементов, то есть теорема доказана. Если это не так, то ∃x3∉(B1(x1,ε)∪B2(x2,ε)):ρ(x2,x3)>ε. Если процесс закончится, то конечная ε-сеть построена, а если нет, то не фундаментальна, так как ρ(xi,xj)≥ε, то есть не сходится, что противоречит определению компакта.

Достаточность.

Пусть M⊂X - вполне ограниченное множество в полном метрическом пространстве (X,ρ). Покажем, что M - компактно. Так как M полностью ограниченно, то для любого ε>0 в метрическом пространстве (X,ρ) существует конечная ε-сеть для множества M, то есть существует конечное покрытие элементов из M открытыми шарами радиуса ε. Пусть {xn} - произвольная последовательность элементов из M. Тогда, в соответствии с принципом Вейерштрасса, существует хотя бы один шар, содержащий бесконечное число членов последовательности {xn}, то есть содержащий подпоследовательность {xnk}, расстояние между элементами которой меньше ε. Пусть Выделим из последовательности {xn} подпоследовательность {xnk1}, расстояние между элементами которой меньше ε=1. Из этой подпоследовательности выделим подпоследовательность {xnk2}, расстояние между элементами которой меньше и так далее. Таким образом, мы получили последовательность подпоследовательностей {xnk(k)}. Тогда члены "диагональной" последовательности {xnk(n)}, начиная с некоторого номера k, принадлежат k-й подпоследовательности, то есть То есть последовательность {xn} фундаментальна, а так как пространство (X,ρ) полное, то xn|n→∞→x∈X, и M⊂X компакт или предкомпакт.

Определение 5. В полном метрическом пространстве компакт это замкнутое, вполне ограниченное множество.

(Комментарий. Итак, в полном метрическом пространстве полная ограниченность и компактность суть равносильные понятия. Заметим, что в Rn всякое замкнутое ограниченное множество компактно, всякое компактное множество замкнуто и ограниченно.)

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь