2.6. Конструкция интеграла Лебега

Пусть D⊂Rⁿ⊂X - измеримое множество, на котором задана ограниченная и измеримая функция (функционал) y=f(x).

1. Обозначим , а и назовём δ_yn - разбиением произвольное множество точек m=y₀<y₁<y₂<...<y_n=M.

2. Пусть Δy_i=y_i-y_i-1, а - диаметр разбиения при фиксированном n. При изменении n или при выборе других точек разбиения диаметр разбиения будет меняться. δ_yn - разбиение называется нормальным, если

3. Лебеговым разбиением множества D⊂Rⁿ⊂X называется кортеж {D_k}, где а D=∪D_k, D_i∩D_j, если i≠j. Здесь

4. Пусть ξ_k∈D_k - произвольная точка элемента кортежа {D_k}. Составим сумму - интегральную сумму Лебега.

5. Число если оно существует, называется определённым интегралом Лебега от ограниченной и измеримой функции y=f(x), заданной на измеримом множестве D, если для любой нормальной последовательности δ_yn- разбиений, любого выбора точек ξ_k и ∀ ε>0∃ N=N(ε) и δ=δ(ε):∀n>N и

(Комментарий. Определение интеграла Лебега аналогично определению интеграла Римана, но только интегральные суммы составляются разбиением не области определения, а множества значений функции. Если у вас есть несколько конвертов с деньгами, то пересчитать их можно или посчитав деньги в каждом конверте (метод Римана), или выложив их из конвертов и сгруппировав по купюрам (метод Лебега). Отсюда ясно, что функция, интегрируемая по Риману, будет интегрироваться и по Лебегу, и интегралы будут совпадать. Обратное, вообще говоря, неверно. Для существования интеграла Римана необходимо и достаточно (теорема Дюбуа-Раймона), чтобы множество точек конечного разрыва имело меру ноль. По Лебегу можно интегрировать и всюду разрывные функции. Например, функция Дирихле разрывна во всех иррациональных точках, то есть множество точек разрыва имеет меру один. Она не интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу: I=1*μ(Q)+0*μ(Ir)=0. Для интеграла Лебега имеют место свойства, совпадающие с соответствующими свойствами интеграла Римана с точностью до формулировок.)

Примеры.

1. Взять интеграл Лебега если

На сегменте [0,1] множество рациональных чисел имеет меру ноль. Тогда функция интегрируема по Риману и

2. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл Лебега от функции f(x)=2xна множестве M, полученном удалением из отрезка [0,1] интервалов

Это множество есть объединение множества меры ноль, состоящего из точек 0 и 1, и сегментов на каждом из которых функция интегрируема по Риману: