НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

2.5. Схема построения интеграла Лебега (На множестве конечной меры)

1. Разбиение области интегрирования осуществляется по признаку близости значений интегрируемой функции.

2. Рассматриваются простые измеримые функции y=f(x), то есть функции, принимающие не более чем счетное число значений {y1,y2,y3,...}, где yi≠ yj при i≠ j. Для таких функций под интегралом по множеству D⊂ X понимается сумма или ряд (при условии абсолютной сходимости) где μ(Dn) - меры тех отрезков, на которых функция y=f(x) принимает значения yn. То есть

3. Множество значений простых функций, можно рассматривать, как метрическое пространство с метрикой Но значений не более чем счётное число, то есть это множество первой категории, следовательно, пространство Y значений yn не полное. Пополнение этого пространства осуществляется по схеме доказательства теоремы Хаусдорфа о пополнении метрического пространства.

4. Из элементов данного неполного метрического пространства строится полное пространство, где в качестве классов эквивалентности, объявляется множество всех почти всюду равных простых измеримых функций, почти всюду (или равномерно) сходящихся к функции y=f(x). Таким образом, мы получили новое фактор - множество Y, элементами которого являются непересекающиеся классы фундаментальных последовательностей {αn}, {βn}, {γn},..., представителями которых являются фундаментальные последовательности {xn}, {yn}, {zn},... пространства (Y,ρ). Если фундаментальная последовательность {xn} сходится к точке y, то и эквивалентная ей последовательность {αn} сходится к той же точке. Сходимость влечёт за собой существование предела который и объявляется интегралом Лебега

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь