2.5. Схема построения интеграла Лебега (На множестве конечной меры)

1. Разбиение области интегрирования осуществляется по признаку близости значений интегрируемой функции.

2. Рассматриваются простые измеримые функции y=f(x), то есть функции, принимающие не более чем счетное число значений {y₁,y₂,y₃,...}, где y_i≠ y_j при i≠ j. Для таких функций под интегралом по множеству D⊂ X понимается сумма или ряд (при условии абсолютной сходимости) где μ(D_n) - меры тех отрезков, на которых функция y=f(x) принимает значения y_n. То есть

3. Множество значений простых функций, можно рассматривать, как метрическое пространство с метрикой Но значений не более чем счётное число, то есть это множество первой категории, следовательно, пространство Y значений y_n не полное. Пополнение этого пространства осуществляется по схеме доказательства теоремы Хаусдорфа о пополнении метрического пространства.

4. Из элементов данного неполного метрического пространства строится полное пространство, где в качестве классов эквивалентности, объявляется множество всех почти всюду равных простых измеримых функций, почти всюду (или равномерно) сходящихся к функции y=f(x). Таким образом, мы получили новое фактор - множество Y, элементами которого являются непересекающиеся классы фундаментальных последовательностей {α_n}, {β_n}, {γ_n},..., представителями которых являются фундаментальные последовательности {x_n}, {y_n}, {z_n},... пространства (Y,ρ). Если фундаментальная последовательность {x_n} сходится к точке y, то и эквивалентная ей последовательность {α_n} сходится к той же точке. Сходимость влечёт за собой существование предела который и объявляется интегралом Лебега