2.4. Понятие измеримой функции

Определение 1. Если какое - либо утверждение верно для любой точки множества M (за исключением, быть может, множества точек, имеющих меру ноль), то говорят, что это утверждение верно почти всюду.

Определение 2. Две функции x₁(t) и x₂(t), заданные на одном и том же множестве X, называются эквивалентными x₁(t)x₂(t), или если mes{t:x₁(t)≠x₂(t) = 0.

Пример 1. Функция Дирихле Так как множество рациональных чисел имеет меру ноль, то D(x)0 или

Определение 3. Пусть X - некоторое множество, P(X) - множество всех подмножеств множества X, а R⊂P(X) - σ-алгебра. Вещественная функция f(x):x∈X называется измеримой, если при любом конечном a∈R множество X_a(x:f(x)>a) (то есть множество тех x∈X, для которых f(x)>a), принадлежит σ-алгебре R, то есть измеримо.

Пример 2. Пусть f(x)=x², x∈[0,1]. Тогда X_a=[0,1], a∈0, a∈[0,1)⇒X_a=[a,1], X_a=∅, a≥1.

Примем без доказательств некоторые факты:

1. Всякая функция, заданная на множестве меры нуль, измерима.

2. Вместо множества D_a(f>a) можно взять множества D_a(f≥a), D_a(f<a), D_a(f≤a).

3. Пусть функция f(x):x∈D⊂X измерима, а A⊂D измеримое подмножество D. Тогда функция f(x), рассматриваемая только для x∈A измерима.

4. Если f(x):x∈D⊂X измеримая функция, а g(x)f(x), то g(x) также измерима.

5. Пусть функции f(x) и g(x) - конечные измеримые функции, заданные на измеримом множестве D⊂X. Тогда измеримы.

6. Пусть функция f(x) измерима на множествах D₁,D₂,...,D_i,.... Тогда она измерима на их объединении и пересечении .

7. Критерий Лузина измеримости функций. Функция f(x) измерима на сегменте [a,b] если и только если ∀ε>0 ∃ g(x), непрерывная на сегменте [a,b], такая, что μ{x∈[a,b]:f(x)≠g(x)}≤ε.

(Комментарий. Критерий Лузина означает, что измеримые функции близки к непрерывным в том смысле, что любую из них можно сделать непрерывной, изменив её значения на множестве сколь угодно малой меры. Например, скачок )

Пример 3. Функция Дирихле, определённая, например, на отрезке [0,1], измерима, так как при а<0 ⇒X_a=[0,1], a при a∈[0,1)⇒X_a=[a,1], но так как множество рациональных чисел имеет меру ноль, то в обоих случаях Если, a≥1⇒X_a = ∅, а пустое множество имеет меру ноль.

Определение 4. Пусть на измеримом множестве X задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций {f_n(x)} = {f₁(x), f₂(x), f₃(x),...} и измеримая и почти везде конечная функция f(x). Если ∀ε>0 верно, что то говорят, что последовательность функций сходится к функции f(x) по мере или f_n(x)⇒f(x)(обозначение Фихтенгольца).

Определение 5. Пусть на измеримом множестве задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций {f_n(x)} = {f₁(x), f₂(x), f₃(x),...} и измеримая и почти везде конечная функция f(x). Если последовательность {f_n(x)} сходится к функции f(x), за исключением, быть может, множества точек, имеющих меру ноль, то говорят, что последовательность функций сходится к функции f(x) почти всюду или f_n(x) →f(x). Это так называемая поточечная сходимость.

Определение 6. Равномерная сходимость на множестве X означает, что и обозначается или

(Комментарий. Ясно, что из равномерной сходимости следует сходимость почти всюду, потому, что равномерная сходимость - это "сходимость всюду". Обратное, вообще говоря, неверно. Однако имеет место)

8. Теорема Егорова о сходимости почти всюду. Если на множестве X конечной меры, то ∀ε>0 ∃X_ε⊂X:mesX_ε<ε и вне подмножества X_ε.

9. Теорема Лебега о сходимости почти всюду. Если то

(Комментарий. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, имеет место)

10. Теорема Лебега о сходимости по мере. Из любой последовательности, такой, что можно выделить подпоследовательность {f_nk(x)}, такую, что .

(Комментарий. Итак, равномерная сходимость влечет сходимость почти всюду, а сходимость почти всюду влечет (на множестве конечной меры) сходимость по мере. Обратные утверждения неверны.)

Пример 4. Рассмотрим функциональную последовательность, заданную на отрезке x∈[0,1]. Здесь i∈[0,2^k). Построим несколько членов этой функциональной последовательности: n=1 ⇒k=0, i=0,⇒f₁(x)=1 ∀x∈[0,1];. При k=1, i={0,1}. При этом n={2,3}, f₂(x)=1 при и f₃(x)=1 при При k=2 i={0,1,2,3}. При этом n={4,5,6,7}, а f_n(x)=1 последовательно на всех четвертушках отрезка x∈[0,1]. Ясно, что имеет место сходимость по мере, то есть f_n(x)⇒f(x)≡0, так как Но здесь нет сходимости почти всюду, так как последовательность f_n(x) не сходится ни в одной точке отрезка [0,1], то есть на множестве положительной меры. Выделим из неё подпоследовательность f_nk(x)={f₁,f₂,f₄,f₈,f₁₆,...}. Ясно, что f_nk(x)→0 удалённых ин; почти всюду, кроме точки x=0.

Пример 5. Из сходимости почти всюду не следует сходимость в среднем. Рассмотрим функциональную последовательность Последовательность {X_n} множеств, на которых функциональная последовательность f_n(x) равна нулю монотонно возрастает и стремится ко всей прямой, за исключением точки ноль, то есть множества меры ноль. Это и есть, по определению, сходимость почти всюду. Однако в среднем эта функциональная последовательность к нулю не сходится, так как .

Пример 6. Из сходимости в среднем не следует сходимость почти всюду.

Рассмотрим функциональную последовательность, заданную на отрезке x∈[0,1] таким образом: Здесь i∈[0,2^k). Здесь нет сходимости почти всюду, так как последовательность f_n(x) не сходится ни в одной точке отрезка [0,1]. Однако в среднем последовательность f_n(x) сходится к нулю, так как при f(x) = 0 можно записать, что и стремится к нулю при n→∑, то есть

Пример 7. Из сходимости по мере не следует сходимость в среднем. Рассмотрим функциональную последовательность, заданную на отрезке x∈[0,1]: . Здесь i∈[0,2^k). Как и в примере 4, здесь имеет место сходимость по мере, то есть f_n(x)⇒f(x)≡0, так как Тем не менее сходимости в среднем нет, так как