НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

2.3. Понятие меры Лебега

Пусть множество A⊂R2 - ограниченная плоская фигура, которую без ограничения общности можно считать целиком принадлежащей квадрату [0,1]*[0,1] на плоскости. Алгоритм введения меры Лебега выглядит таким образом:

1. По определению будем считать, что мера прямоугольника P, mesP=a*b. Назовём элементарным плоским множеством (ступенчатой фигурой) такое множество, которое можно представить в виде объединения конечного числа непересекающихся прямоугольников.

2. Полагаем, что если множество то Для прямоугольников можно доказать, а для других элементарных множеств постулируется σ-аддитивность.

3. Покрытием множества A называется такая совокупность множеств Gα⊂X, что

4. Внешняя мера μ* определяется так: где инфинум берётся по всем возможным покрытиям множества конечной или счётной совокупностью прямоугольников Pn или других элементарных множеств.

5. Определим некоторое множество Aε как объединение конечного числа непересекающихся прямоугольников или других элементарных множеств. Это измеримое элементарное множество.

6. Множество A измеримо по Лебегу, если Здесь - дизъюнктивная сумма множеств A и Aε. Внешняя мера μ*, определённая только на измеримых множествах, называется мерой Лебега множества A.

Теорема 4 (Теорема Лебега о σ-аддитивности меры). Пусть Ωh - попарно непересекающаяся совокупность измеримых множеств, то есть Ωi∩Ωj=∅ если i≠j и Тогда

(Комментарий. Стало быть, совокупность измеримых множеств замкнута относительно операции счётного объединения, а мера σ-аддитивна.)

Теорема 5 (О непрерывности σ-аддитивной меры). Если


Без доказательства.

(Комментарий.

1. Пусть X - некоторое множество, P(X) - множество всех подмножеств множества X. Непустое подмножество R⊂P(X) - кольцо, если оно замкнуто относительно операций объединения, пересечения и разности, а следовательно, и симметрической разности; алгебра - если подмножество включает в себя множество X; σ-алгебра - если алгебра R замкнута относительно операций счётного объединения. Таким образом, совокупность измеримых множеств образуют σ-алгебру, на которой мера σ-аддитивна.

2. Таким образом, исходное множество A заменяется со сколь угодно большой степенью точности множеством Aε и теперь уже не важно, как определить меру множества или как внешнюю меру по всем покрытиям, или как конечную сумму мер прямоугольников, из которых состоят элементарные множества. Через покрытия удобнее, так как не надо искать способ представления множества A.

3. При построении меры по Жордану множество A "зажималось" системой прямоугольников, Q=Qn - внутренних и P=Pn - внешних, и если то множество измеримо. Определив функцию ρ = mes(PQ), мы получим полуметрику, так как разные системы прямоугольников могут покрывать одну и ту же фигуру. Это значит, что ρ = mes(PQ) = 0 при разных P и Q. Если отождествить те P и Q, при которых ρ = mes(PQ) = 0, то это уже метрика. Фактор-множество по отношению эквивалентности mes(PQ) = 0 образует метрическое пространство. Но это неполное метрическое пространство. Его пополнение и приводит к мере Лебега.)

Определение 1. Множество A⊂Rn2 имеет лебегову меру ноль, если ∀ε>0, можно указать последовательность открытых параллелепипедов Vk, такую, что и

Пример 1. Меру ноль имеет любое дискретное множество, любое конечное или счётное множество, например, множество рациональных чисел (как объединение конечного или счётного числа точек, имеющих меру ноль).

Пронумеруем множество рациональных чисел и вокруг любого числа xn рассмотрим интервал Его мера (длина) а

Переходя к дополнениям, получим, что мерой множества иррациональных чисел на отрезке будет длина отрезка.

Множество рациональных чисел стало измеримым, имеет лебегову меру ноль, но это всюду плотное множество первой категории. Может ли несчётное множество иметь меру ноль?

Пример 2. Покажем, что канторов дисконтинуум есть замкнутое, совершенное, нигде не плотное множество лебеговой меры ноль и мощности континуума.

1. Замкнутость. Канторов дисконтинуум K есть пересечение Kn замкнутых отрезков, оставшихся на n-м шаге процедуры с отрезком [0,1], то есть а это замкнутое множество.

2. Совершенство. По процедуре, мы никогда не выбрасываем два смежных интервала, то есть в множестве K нет изолированных точек.

3. Нигде не плотность. Возьмём произвольный интервал (a,b)∈[0,1] и покажем, что ∃(α,β)∈(a,b)∈[0,1], не содержащий точек множества K. В самом деле: или на n-ном шаге процедуры интервал (a,b) уже не содержит точек множества K, или на следующем шаге мы выбрасываем из него треть, а это и есть тот самый интервал (α,β)∈(a,b), не содержащий точек множества K.

4. Мера ноль. Сумма длин выброшенных интервалов то есть то, что осталось имеет меру ноль.

5. Мощность континуума. Процедура Кантора подразумевает деление соответствующего отрезка на каждом шаге на три равные части, то есть любое число x∈X есть троичная дробь, каждая цифра которой - 0, 1 или 2. Но множество K устроено так, что цифра запрещена, то есть это фактически двоичная дробь. Ранее была установлена биекция между точками отрезка [0,1] и действительными числами, записанными в любой системе счисления. А отрезок [0,1] имеет мощность континуума.

(Комментарий. Канторов дисконтинуум не имеет внутренних точек, так как если точка M внутренняя, то существует окрестность точки M, целиком принадлежащая множеству K, то есть UM⊂K. Но тогда мера μUM>0, и μK>0. Процедура Кантора позволяет строить на отрезке замкнутые, совершенные, нигде не плотные множества мощности континуума и произвольной лебеговой меры, меньшей, чем длина отрезка.)

Пример 3. Построим на отрезке [0,1] замкнутое, совершенное, нигде не плотное множество мощности континуума и с заданной мерой μ<1.

Удалим из отрезка [0,1] интервал E1 длиной с центром в середине отрезка. Далее из двух образовавшихся отрезков удалим по равному интервалу суммарной длиной с центрами в их серединах, и так далее. Объединение удалённых интервалов - открытое множество, тогда множество D = [0,1]/E - множество замкнутое. Мера удалённого множества Мера оставшегося множества μD = 1-a.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь