НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

II. Основные теоремы о пространствах

2.1. Полные метрические пространства

Теорема 1 (Критерий полноты Кантора). Метрическое пространство полно, если и только если любая последовательность непустых вложенных замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение.

Необходимость. Пусть последовательность вложенных шаров при rn →∞→0 и пространство (X,ρ) полное. Тогда существует и единственна точка x0, принадлежащая всем шарам сразу. Рассмотрим последовательность {xn} центров этих шаров и оценим расстояние ρ(xn,xm) при m>n. Так как при , но по условию теоремы rn→0, стало быть и ρ(xn,xm)→0 при n,m→∞. То есть последовательность {xn} фундаментальна и в силу полноты пространства {X,ρ} сходится. Члены её, начиная с m-го, принадлежат шару так как шар замкнутый, то и предел принадлежит этому шару, а то есть пересечение шаров не пусто.

Достаточность. Пусть {xn} - произвольная фундаментальная последовательность в пространстве (X,ρ). Будем полагать, что это последовательность центров замкнутых шаров и покажем её сходимость, то есть полноту пространства (X,ρ). Выделим из последовательности {xn} подпоследовательность {xnk}, такую, что Покажем, что подпоследовательность замкнутых шаров является последовательностью вложенных шаров, т.е. при m>k Действительно, пусть произвольная точка х принадлежит шару Тогда Из неравенства треугольника найдём, что Таким образом, точка х принадлежит и шару Стало быть, шары вложены друг в друга. По условию теоремы последовательность вложенных шаров имеет непустое пересечение. Пусть x0 - общая точка всех шаров. Поскольку радиусы вложенных шаров стремятся к нулю, то ρ(x0,xnk)nk→∞→0 т.е. подпоследовательность {xnk} сходится к точке x0. Тогда и сама фундаментальная последовательность (xn) сходится к той же точке x0. Действительно, согласно неравенству треугольника имеем ρ(x0,xn)≤ρ(x0,xnk)+ρ(xnk,xn) При этом ρ(x0,xnk)→0 так как подпоследовательность {xnk} сходится к x0. Тогда ρ(x0,xn)→0, то есть последовательность {xn} сходится.

(Комментарий. Нарушение любых условий теоремы приводит к тому, что пересечение шаров пусто. Ранее было рассмотрено метрическое пространство (N,ρ), где N - множество натуральных чисел и Определим последовательность вложенных шаров с центром в точке n и радиуса Шары замкнуты и вложены друг в друга, пространство (N,ρ) - полно, так как фундаментальные последовательности здесь могут быть только стационарными, а они сходятся. Но условие стремления к нулю радиусов шаров нарушено, поэтому пересечение вложенных шаров пусто: )

Пример. Может ли в банаховом пространстве иметь пустое пересечение последовательность непустых вложенных замкнутых множеств?

Да, может. Рассмотрим банахово пространство вещественных чисел R и последовательность непустых замкнутых вложенных множеств в нем xi = [i,∞), i=1,∞. Ясно, что

Определение 1. Пусть множество M⊂X, где X - носитель метрического пространства (X,ρ). Множество M⊂X называется множеством I категории, если его можно представить в виде объединения не более, чем счётного числа нигде не плотных множеств. Остальные множества называются множествами II категории.

Пример. Множество рациональных чисел есть множество I категории.

Теорема 2 (Теорема Бэра о категориях). Носитель X полного метрического пространства (X,ρ) есть множество II категории.

Пусть носитель X полного метрического пространства есть множество I-й категории, то есть , где Mi - нигде неплотные в пространстве (X,ρ) множества, а B0 - некоторый замкнутый шар единичного радиуса. Так как M1 нигде не плотное множество, оно не плотно и в B0, то есть существует замкнутый шар B1 радиуса менее 2-1 такой, что B1⊂ B0 и B1∩M1. Поскольку множество M2 нигде не плотно, то существует замкнутый шар B2 радиусом менее 2-2, для которого B2∩M2 = ∅. И так далее. В результате образуется последовательность вложенных замкнутых шаров полного метрического пространства (X,ρ), радиусы которых стремятся к нулю. Тогда по теореме 1 существует точка x∈X, принадлежащая всем шарам сразу. Но по построению Bi∩Mi = ∅, то есть x∉X, следовательно

(Комментарий. Ясно, что в полном метрическом пространстве всякое не пустое открытое множество есть множество второй категории, а множества, дополнительные к множествам первой категории, тоже множества второй категории.)

Определение 2. Полное метрическое пространство (Y,ρy) называется пополнением метрического пространства (X,ρx), если пространство (X,ρx) всюду плотно в пространстве (Y,ρy).

Определение 3. Пространства (X,ρx) и (Y,ρy) называют изомерными, если между ними существует хоть одна биекция и ρy = ρx.

Теорема 3 (Теорема Хаусдорфа о пополнении метрических пространств). Любое неполное метрическое пространство (X,ρx) имеет единственное с точностью до изомерности пополнение.

1. Из элементов данного неполного метрического пространства (X,ρx) построим некоторое пространство (Y,ρy).

Фундаментальные последовательности {xn} и {x'n} метрического пространства (X,ρ) назовём конфинальными, если Конфинальность определяет отношение эквивалентности xnx'n, то есть это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Рефлексивность и симметричность очевидны, а из неравенства треугольника следует транзитивность. Действительно, пусть xnx'n, а x'nx''n. Тогда ρ(xn,x''n)≤ρ(xn,x'n)+ρ(x'n,x''n). Если ρ(xn,x'n)→0 и ρ(x'n,x''n)→0, то ρ(xn,x''n)→0. Отношение эквивалентности разбивает фундаментальные последовательности пространства (X,ρx) на непересекающиеся классы эквивалентных между собой последовательностей. Таким образом мы получили новое фактор-множество Y, элементами которого являются непересекающиеся классы фундаментальных последовательностей {αn}, {βn}, {γn},..., представителями которых являются фундаментальные последовательности {xn}, {yn}, {zn},... пространства (X,ρx). Если фундаментальная последовательность {xn} сходится к точке x, то и эквивалентная ей последовательность {αn} сходится к той же точке. Действительно, пусть ρ(xn,x)|n→∞→0. Тогда ρ(αn,x)≤ρ(αn,xn)+ρ(xn,x)→0 и ρ(αn,x)|n→∞→0. Будем рассматривать фактор-множество Y как носитель нового метрического пространства (Y,ρy) с метрикой , если, конечно, удастся доказать, что это метрика.

2. Покажем, что (Y,ρy) - метрическое пространство. Это значит, что предел существует, не зависит от выбора представителей и удовлетворяет аксиомам метрики.

2.1. Существование. Достаточно показать, что последовательность {ρn(xn,yn)} фундаментальна, тогда, в силу полноты числовой оси, она сходится. Полнота числовой оси доказывается независимо.

Лемма 1 (О четырёх точках). Для любых четырёх точек x,x',y,y' метрического пространства Х справедливо неравенство |ρ(x,y)-ρ(x',y')|≤ρ(x,x')+ρ(y,y').

ρ(x,y)≤ρ(x,x')+ρ(x',y)≤ρ(x,x')+ρ(x',y')+ρ(y',y) ⇒ ρ(x,y)-ρ(x',y')≤ρ(x,x')+ρ(y,y'). Поменяв местами x,y и x',y', получим ρ(x',y')-ρ(x,y)≤ρ(x',x)+ρ(y',y).

Отсюда сразу |ρ(x,y)-ρ(x',y')|≤ρ(x,x')+ρ(y,y').

Лемма 2 (О непрерывности метрики). Метрика ρ(x,y) является непрерывной функцией своих аргументов.

Из леммы 1 |ρ(xn,yn)-ρ(x,y)|≤ρ(xn,x)+ρ(yn,y)→0 при n→∞, то есть если ρ(xn,x)→0 и ρ(yn,y)→0 при n→∞, то ρ(xn,yn)→ρ(x,y).

Доказательство существования метрического пространства (Y,ρy).

Если последовательности {xn} и {yn} фундаментальные, то ρ(xn,xm)→0 и ρ(yn,ym)→0 при m,n→∞. Тогда согласно лемме о четырёх точках можно записать соотношение: |ρ(xn,yn)-ρ(xm,ym)|≤ρ(xn,xm)+ρ(yn,ym)→0 при m,n→∞. То есть числовая последовательность {ρn(xn,yn)} фундаментальна и, следовательно, и сходится в полном пространстве R11.

2.2. Доказательство независимости от выбора представителей.

Пусть {x'n}, {y'n} - другие представители последовательностей {αn}, {βn}. Тогда |ρ(xn,yn)-ρ(x'n,y'n)|≤ρ(xn,x'n)+ρ(yn,y'n)→0. Так как последовательности {xn}, {yn} и {x'n}, {y'n} конфинальны, то ρ(xn,x'n)→0, ρ(yn,y'n)→0 и |ρ(xn,yn)-ρ(x'n,y'n)|→0.

2.3. Проверим выполнение аксиом метрики.

1. По свойствам пределов, связанных с неравенствами, если все члены последовательности {ρn(xn,yn)}≥0, то и

2. Симметричность очевидна.

3. Докажем аксиому треугольника. Так как ∀ n ρ(xn,yn)≤ρ(xn,zn)+ρ(zn,yn), то, по свойствам пределов, связанных с неравенствами и непрерывности метрики сразу получаем что и третья аксиома справедлива. Таким образом, пространство (Y,ρy) метрическое.

3. Покажем, что метрическое пространство (Y,ρy) и есть пополнение метрического пространства (X,ρx).

Надо показать, что: метрическое пространство (X,ρx) всюду плотно в метрическом пространстве (Y,ρy) и эти пространства изомерны.

3.1. Покажем, что метрическое пространство (X,ρx) всюду плотно в метрическом пространстве (Y,ρy).

Рассмотрим множество X' всех стационарных последовательностей пространства X. Все они одновременно являются и стационарными последовательностями в пространстве Y, то есть образуют подмножество Y'⊂Y, элементами которого являются стационарные последовательности. Обратное неверно. Таким образом,∀x,y∈X'ρX'(x,y) = ρY'(α,β). Но любая стационарная последовательность из пространства Y'⊂Y принадлежит классу конфинальных последовательностей из пространства X, то есть ρX(x,y) = ρY(α,β). Это значит, что пространство (X,ρx) изомерно вложено в пространство (Y',ρy). Осталось показать, что пространство и соответственно пространство Y' всюду плотно в пространстве Y. То есть каждый элемент α∈Y есть точка прикосновения множества Y' (и соответственно пространство X). Или в любой окрестности точки α∈Y найдётся точка α'∈Y'. Пусть {xn}∈α∈Y - фундаментальная последовательность, то есть при n,m>N. Зафиксировав m, получим, что {xm} = α'∈Y' - стационарная последовательность. Расстояние между точками α∈Y и α'∈Y' в этом случае: Это значит, что в любой окрестности точки α∈Y найдётся точка α'∈Y', то есть пространство (Y',ρy) и, следовательно, пространство (X,ρX) всюду плотно в (Y,ρy).

3.2. Покажем, что метрическое пространство (Y,ρy) полно.

Рассмотрим некоторую фундаментальную последовательность {αn}∈Y. Так как пространство (X,ρX) всюду плотно в (Y,ρy), то для каждого номера n найдётся элемент xn∈X такой, что Тогда из неравенства треугольника следует соотношение ρ(xn,xm)≤ρ(xnn)+ραn,xm)<ε Это значит, что последовательность {xn} фундаментальна и существует класс эквивалентности α0, куда сходится последовательность {xn}. Но тогда ρy0n)≤ρy0,xn)+ρy(x0n) и пределы существуют в силу полноты пространства R11, то есть ρy0,xn)→0. Таким образом, метрическое пространство (Y,ρY) полно.

3.3. Покажем, что метрическое пространство (Y,ρY) является единственным с точностью до изоморфизма пополнением метрического пространства (X,ρX).

Пусть (Y,ρY) и (Y',ρY) - два различных пополнения метрического пространства (X,ρX) и y0∈Y - произвольная точка. Тогда ∃{xn}∈X:{xn}→y0∈Y. Но, с другой стороны, {xn}→y'0∈Y', причём ρ(y0,y'0)≠0, а ρ(y0,y'0) = ρ(xn,xn)|n→∞ = 0.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь