НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

1.5.6. Метризуемость

Определение 1. Топологическое пространство T метризуемо, если существует такая метрика ρ на множестве T, что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства T.

Определение 2. Две метрики ρ1 и ρ2 на множестве называются эквивалентными, если они порождают на нем одну и ту же топологию.

Пример 1. Показать, что метрики , ρ2(A,B) = max{|y2-y1|,|x2-x1|} и ρ3(A,B) = |x2-x1|+|y2-y1| эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.

То, что это метрики, было показано ранее. Пусть метрика ρ1 порождает топологию τ1, ρ2 - топологию τ2 и ρ3 - топологию τ3. Достаточно показать два равенства. Покажем, что τ12. Рассмотрим множество M, открытое в τ1 и покажем, что M открыто в τ2. Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в M. Шар в τ1 - квадрат, шар в τ2 - круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда M открыто и в τ2. Аналогично доказывается, что τ1 = τ3. А тогда и τ2 = τ3.

Теорема 1. Метризуемое топологическое пространство хаусдорфово.

Пусть x,y ∈X, x≠y. Возьмем Докажем, что Uε(x)∩Uε(y) = ∅.

Предположим, что Uε(x)∩Uε(y) ≠ ∅, тогда существует z∈Uε(x)∩Uε(y), т.е. z∈Uε(x) и z∈Uε(y). Тогда, ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(z,y)<ε+ε=2ε=ρ(x,y). Получили противоречие. Следовательно, Uε(x)∩Uε(y) = ∅.

Пример 2. Топологическое пространство R не является хаусдорфовым, а значит неметризуемо.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь