1.5.5. Виды топологии

Каждое топологическое пространство обладает специфическими свойствами, которые иногда резко отличаются от свойств числовой прямой. Эти свойства есть прямое следствие аксиом отделимости. Основных аксиом - пять, потому что числовая прямая с обычной топологией удовлетворяет этим пяти аксиомам. Приведем две важнейшие.

А1. Аксиома Колмогорова. У любых двух не совпадающих точек хоть у одной из них существует окрестность, не содержащая другую точку.

(Комментарий. Очевидно, что для тривиальной топологии эта аксиома не выполняется: в этой топологии есть ровно одно непустое открытое множество всё X, поэтому всё X будет единственной возможной окрестностью для любой точки и для произвольной пары точек их окрестности совпадают. Все остальные вышеописанные пространства этим свойством обладают.)

А2. Аксиома Хаусдорфа. Для любых двух не совпадающих точек у каждой из них можно выбрать по окрестности так, чтобы эти окрестности не пересекались.

(Комментарий. Понятно, что из выполнения аксиомы А2 следует выполнение аксиомы А1,и, значит, если не выполняется аксиома А1, то не выполняется и аксиома А2.)

Пример 1. Числовая прямая с топологией Зарисского не удовлетворяет аксиоме А2. Действительно, в этой топологии открытое множество определяется как множество, дополнение до которого состоит из конечного числа точек, а так как на прямой число точек бесконечно, то любые два открытых множества (в том числе и любые две окрестности) пересекаются по бесконечному числу точек. Прямая с обычной и с дискретной топологиями удовлетворяет аксиоме А2.