НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

1.5.4. Непрерывные отображения

Понятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях в ощем случае. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния. Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения.

Определение 1. Точкой топологического пространства T = (x,τ) называют любой его элемент.

Определение 2.Окрестностью точки в топологическом пространстве называется любое открытое множество, содержащее указанную точку.

Определение 3. Для любого топологического пространства множество A⊂T = (X,τ) называется открытым если каждая точка x∈A имеет окрестность Ux⊂A.

Пусть задано отображение F:X→Y и A⊂X.

Определение 4. Множество F(A):y:=F(x), x⊂A, y⊂Y где называется образом множества А при отображении F.

Определение 5. Для отображения F:X→Y, B⊂Y множество F-1(B) = {x∈X, F(x)⊂B} называется прообразом множества В при отображении F. Отображение F сюръективно, если F(x) = Y, инъективно, если ∀x1≠x2, F(x1)≠F(x2) и биективно, если оно сюръективно и инъективно.

(Комментарий. Следует различать прообраз F-1(B), определяемый для любого отображения F:X→Y, и обратное отображение F-1:Y→X, существующее только для биективных отображений.

Пусть задано отображение F:X→Y, где X,Y - топологические пространства с топологиями соответственно τ1 и τ2. В соответствии с определением окрестности точки в топологическом пространстве, теперь можно дать определение непрерывности отображения F:X→Y в точке.)

Определение 6. Отображение F:X→Y называется непрерывным в точке x0∈X, если ∀UF(x0)⊂Y ∃Vx0⊂X точки x0∈X, такая, что из того, что точка x∈Vx0⊂X, следует, что F(x)⊂UF(x0) ⊂Y. То есть F(V0)⊂UF(x0).

Определение 7. Отображение, непрерывное в каждой точке x множества X, называется непрерывным на X. Если множество X фиксировано, отображения называют просто непрерывными, не указывая X.

Примеры.

  1. Для произвольных метрических пространств Х и Y постоянное отображение является непрерывным.
  2. Тождественное отображение топологического пространства самого на себя является непрерывным.
  3. Непрерывную функцию можно рассматривать как непрерывное отображение из топологического пространства R1 в топологическое пространство R1.

Теорема 1 (Критерий непрерывности отображения). Отображение F:X→Y непрерывно если и только если для любого открытого множества U⊂τ2 пространства Y его прообраз V = F-1(U) принадлежит τ1, то есть является открытым множеством топологического пространства X.

Необходимость. Пусть отображение F:X→Y непрерывно. Покажем, что для любого открытого множества U⊂τ2 пространства Y его прообраз V = F-1(U) принадлежит τ1, то есть является открытым множеством топологического пространства X. Выберем открытое множество U⊂Y. U - окрестность каждой своей точки y = F (x), x∈Vx⊂V = F-1(U). Тогда каждое x∈Vx⊂V⊂X имеет такую окрестность, что F(Vx)⊂U. Так как, по определению, V есть множество всех точек x∈X, таких, что F(x)⊂U, то Vx⊂V. Так как каждое x принадлежит своему Vx, то объединение всех Vx содержит все x. Это значит, что V⊂∪Vx. С другой стороны, все Vx содержатся в V, то есть и их объединение содержится в V, то есть ∪Vx⊂V. Из двух включений и следует равенство V = F-1(U). Таким образом, V есть объединение открытых множеств Vx, то есть оно само открыто по аксиоме топологии.

Достаточность. Теперь пусть для любого открытого множества U топологического пространства Y (то есть U⊂τ2) множество V = F-1(U) открыто в X (то есть принадлежит τ1). Покажем, что отображение F:X→Y непрерывно. Выберем произвольную окрестность UF(x) точки F(x) в Y. Это открытое множество, и поэтому Vx = F-1(UF(x)) открыто в X по условию. При этом по построению F(Vx) = UF(x). Итак, для любой окрестности UF(x) точки F (x) существует окрестность Vx точки x, такая, что F(Vx) содержится в UF(x), то есть выполнено определение непрерывности.

Определение 8. Отображение топологических пространств называется непрерывным, если прообраз всякого открытого множества открыт.

(Комментарий. Итак, при непрерывном отображении прообраз открытого отображения открыт, а замкнутого замкнут. Для образов при непрерывных отображениях такого рода утверждения, вообще говоря, не имеют место.)

Примеры.

  • Непрерывное отображение f: R1→ R1, где f(x)=arctgx, отображает бесконечный интервал R = (-∞,∞) в интервал т.е. открытое и замкнутое множество - в открытое множество.
  • Непрерывное отображение f:R1→ R1, где отображает открытое и замкнутое множество R = (-∞,∞) в полуинтервал (0; 1], который не является ни открытым, ни замкнутым множеством.
  • Тождественное отображение есть пример одновременно открытого и замкнутого отображения.
предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru