![]() |
1.5.4. Непрерывные отображенияПонятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях в ощем случае. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния. Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения. Определение 1. Точкой топологического пространства T = (x,τ) называют любой его элемент. Определение 2.Окрестностью точки в топологическом пространстве называется любое открытое множество, содержащее указанную точку. Определение 3. Для любого топологического пространства множество A⊂T = (X,τ) называется открытым если каждая точка x∈A имеет окрестность Ux⊂A. Пусть задано отображение F:X→Y и A⊂X. Определение 4. Множество F(A):y:=F(x), x⊂A, y⊂Y где называется образом множества А при отображении F. Определение 5. Для отображения F:X→Y, B⊂Y множество F-1(B) = {x∈X, F(x)⊂B} называется прообразом множества В при отображении F. Отображение F сюръективно, если F(x) = Y, инъективно, если ∀x1≠x2, F(x1)≠F(x2) и биективно, если оно сюръективно и инъективно. (Комментарий. Следует различать прообраз F-1(B), определяемый для любого отображения F:X→Y, и обратное отображение F-1:Y→X, существующее только для биективных отображений. Пусть задано отображение F:X→Y, где X,Y - топологические пространства с топологиями соответственно τ1 и τ2. В соответствии с определением окрестности точки в топологическом пространстве, теперь можно дать определение непрерывности отображения F:X→Y в точке.) Определение 6. Отображение F:X→Y называется непрерывным в точке x0∈X, если ∀UF(x0)⊂Y ∃Vx0⊂X точки x0∈X, такая, что из того, что точка x∈Vx0⊂X, следует, что F(x)⊂UF(x0) ⊂Y. То есть F(V0)⊂UF(x0). Определение 7. Отображение, непрерывное в каждой точке x множества X, называется непрерывным на X. Если множество X фиксировано, отображения называют просто непрерывными, не указывая X. Примеры.
Теорема 1 (Критерий непрерывности отображения). Отображение F:X→Y непрерывно если и только если для любого открытого множества U⊂τ2 пространства Y его прообраз V = F-1(U) принадлежит τ1, то есть является открытым множеством топологического пространства X.
Необходимость.
Достаточность. Определение 8. Отображение топологических пространств называется непрерывным, если прообраз всякого открытого множества открыт. (Комментарий. Итак, при непрерывном отображении прообраз открытого отображения открыт, а замкнутого замкнут. Для образов при непрерывных отображениях такого рода утверждения, вообще говоря, не имеют место.) Примеры.
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |