1.5.3. Наследство и сила

Топология может наследоваться. Например, в плоскости имеется топология, состоящая из обычных открытых кругов (аналогично случаю числовой прямой). Тогда на любой прямой, лежащей в этой плоскости, возникает топология, в которой открытыми множествами являются пересечения с этой прямой и кругов, открытых в плоскости. Эта топология называется индуцированной. В рассматриваемом примере индуцированная топология это обычная топология на прямой.

В некоторых случаях различные топологии на одном и том же множестве можно сравнивать между собой.

Определение 1. Топология τ₁ на носителе X сильнее топологии τ₂ на том же носителе, если все множества, входящие в τ₂, входят также и в τ₁.

Пример. Очевидно, что любая топология сильнее тривиальной, а дискретная сильнее любой топологии. Также понятно, что обычная топология сильнее, чем топология Зарисского и чем правая топология. В то же время топологию Зарисского и правую топологию сравнить между собой нельзя - ни одна из них не является более сильной, чем другая. Более того, можно показать, что если некоторое множество числовой прямой входит сразу в обе эти топологии, то это либо вся числовая прямая, либо пустое множество.