1.5.2. База

Тривиальную и дискретную топологию можно задать, описав все входящие в них множества. С обычной топологией это невозможно, и пришлось описывать ее с помощью свойства, которому удовлетворяют ее множества. Чтобы избежать этого неудобства, было введено понятие базы топологии.

Определение 1. Набор открытых множеств B∈τ называется базой топологии τ, если любое множество из τ есть (возможно, бесконечное) объединение множеств из В. Всякая база B в топологическом пространстве Т = (Х,τ) обладает следующими двумя свойствами:

2) если точка x содержится в пересечении двух множеств G₁ и G₂ из B, то существует такое G₃∈B, что x∈G₃⊂G₁∩G₂.

Пример. Базой обычной топологии на прямой являются ε-окрестности. Действительно, обычное открытое множество характеризуется тем, что каждая его точка имеет некоторую ε-окрестность, входящую в это множество. Очевидно, что само множество есть объединение указанных ε-окрестностей всех его точек. Всякое метрическое пространство является топологическим пространством, базу топологии которого составляют открытые шары этого пространства.

Определение 2. Говорят, что топологическое пространство имеет счётную базу, если топология этого пространства имеет базу, состоящую из счетного набора множеств (то есть множества, входящие в эту базу, можно занумеровать натуральными числами).

Пример. Обычная топология на прямой имеет счетную базу - это ε-окрестности с рациональным ε, центрами которых являются рациональные точки (множество рациональных чисел счетно). Дискретная топология на прямой не имеет счетной базы: в любую базу этой топологии должны входить все точки прямой, а это множество имеет мощность континуума.