НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

1.5.1. Cпособы задания топологии

Задать топологическое пространство - значит задать носитель Х и топологию τ, то есть указать те подмножества Х, которые будем считать открытыми.

Примеры.

  1. Произвольное множество X можно сделать топологическим пространством, если называть открытыми все его подмножества, то есть на любом X включим в топологию вообще все подмножества X (в том числе и все его точки, то есть одноточечные подмножества), само X и пустое подмножество. Такая топология называется дискретной: τ = {X,∅, 2X}, где 2X - все подмножества множества Х.
  2. Второй крайний случай - антидискретная (тривиальная) топология или топология слипшихся точек: на любом носителе X рассмотрим топологию, в которой всего два множества: все X и пустое: τ = {X,∅}.
  3. Вещественная прямая R является топологическим пространством, если назвать открытыми множествами произвольные (пустые, конечные или бесконечные) объединения конечных или бесконечных интервалов. Действительно, вся числовая прямая очевидным образом открыта, пустое множество включают в число открытых по определению (это непротиворечиво, поскольку в пустом множестве нет точек, тогда можно считать, что каждая из них (!) входит в пустое множество с некоторой ε-окрестностью). Топологию, состоящую из обычных открытых множеств на числовой прямой, называют нормальной (обычной) топологией. Точно также строится нормальная топология в Rn. Таким образом, нормальная топология - это топология стандартных метрических пространств.
  4. Топология Зарисского на числовой прямой. В эту топологию включены вся прямая, пустое множество и все множества на прямой, дополнения которых до R состоят из конечного числа точек. То есть открытые интервалы получены выбрасыванием из прямой конечного числа точек.
  5. Правая стрелка R. Эта топология на числовой прямой состоит из всей прямой, пустого множества и всех открытых интервалов вида (a,+∞), где a - точка прямой. Аналогично можно задать и левую стрелку.
  6. X = {a,b} - топологическое двоеточие. Дискретная топология: τ1 = {X,∅,{a},{b}}, антидискретная топология: τ2 = {X,∅}. На двоеточии возможны ещё две топологии: τ3 = {X,∅,{a}} и τ4 = {X,∅,{b}}. Метризуема (то есть можно ввести расстояние) только дискретная топология: Остальные - нет. В случае, например, τ4 = {X,∅,{b}} открыты следующие множества: X = {a,b}, пустое множество ∅ и {b}, замкнуты X = {a,b}, пустое множество ∅ и {a}.
предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru