НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

1.4.6. Топологические свойства метрических пространств

Предел последовательности элементов метрического пространства может быть определен и по-другому без явного обращения к понятию предела числовой последовательности ρ(xn,x)|n→∞→0. А это уже "топологический взгляд" на пространства. Введем понятие окрестности элемента пространства. Пусть (X,ρ) - произвольное метрическое пространство.

Определение 1. Открытым шаром с радиусом r и с центром в точке x0 называется множество точек этого пространства, расстояние до которых меньше r, то есть B(x0,r) = {x∈X:ρ(x0,x)<r}.

(Комментарий. Соответствующие переформулировки для нормированных пространств очевидны. В нормированных пространствах B(x0,r) = {x∈X:|x0-x||<r}. Окрестностью точки x0 называется открытый шар с центром в этой точке и радиуса ε. Соответственно, для замкнутого шара , а сфера S(x0,r) = {x∈X:ρ(x0,x)=r}.)

Пример. В дискретном пространстве при r<1 S(x0,r)=∅ а если r≥1 то

Определение 2. Пусть M - произвольное множество метрического пространства (X,ρ). Точка x0∈X называется внутренней точкой множества M, если существует окрестность этой точки, целиком входящая в множество M. Совокупность всех внутренних точек множества M называется внутренностью множества M и обозначается int M. Множество, состоящее только из внутренних точек, называется открытым.

Определение 3. Пусть M - произвольное множество метрического пространства (X,ρ). Точка x0∈X называется внешней точкой множества M, если она является внутренней точкой дополнения, то есть множества X/M. Другими словами, существует окрестность точки x0, не имеющая с множеством M общих точек.

Определение 4. Пусть M - произвольное множество метрического пространства (X,ρ). Точка x0∈X называется предельной точкой множества M, если в любой окрестности точки содержится хоть одна точка из множества M, отличная от точки x0.

(Комментарий. Ясно, что предельная точка множества M может как принадлежать, так и не принадлежать множеству M. У открытого множества существует хоть одна предельная точка, не принадлежащая ему.)

Определение 5. Точка x0∈X называется изолированной точкой множества M, если существует окрестность точки x0, не содержащая точек из множества M.

Определение 6. Совокупность предельных и изолированных точек множества M называется точками прикосновения множества M.

Определение 7. Множество M называется дискретным, если оно состоит только из изолированных точек и совершенным, если оно состоит только из предельных точек.

Определение 8. Множество M метрического пространства ρ(X,ρ) называется ограниченным, если существует открытый шар, целиком содержащий множество M.

Определение 9. Диаметром множества M называется число

Определение 10. Расстоянием от точки x0 до множества M называется число

Определение 11. Расстоянием между двумя множествами M и N называется число

Определение 12. Присоединение к множеству всех его точек прикосновения называется замыканием множества. Замыкание множества M обозначается

Определение 13. Множество М метрического пространства ρ(X,ρ) называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием, то есть M = . У замкнутого множества существует хоть одна точка, в любой окрестности которой есть точки, не принадлежащие множеству .

Определение 14. Все точки, в любой окрестности которых есть как точки, принадлежащие множеству M, так и не принадлежащие ему, образуют границу множества .

Пример. Может ли расстояние между двумя непересекающимися непустыми замкнутыми множествами равняться нулю?

Да. На числовой прямой возьмём множества A = {2,3,4,...} и На плоскости множества A:y = 0 и B:xy = 1 или B:(x2+1)y = 1.

Теорема 1. Множество метрического пространства открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто.

Необходимость. Пусть M - открытое множество и множество CM = X/M - открыто. Так как множество CM открыто, то существует хоть одна предельная точка x0, не принадлежащая множеству CM. Но в любой её окрестности содержится бесконечное число точек из множества CM. Сама же она принадлежит множеству M. Но множество M открыто по условию, то есть точка x0 внутренняя точка множества M. Но тогда существует окрестность точки x0, состоящая только из точек множества M. А это противоречит тому, что в любой окрестности точки x0 содержится бесконечное число точек из множества CM.

Достаточность. Пусть M - замкнутое множество и множество CM = X/M - замкнуто. Так как множество M замкнуто, существует хоть одна точка x0, в любой окрестности которой есть точки, не принадлежащие множеству . То есть точка x0 - предельная точка множества CM. Но множество CM тоже замкнуто, то есть содержит все свои предельные точки, то есть точка x0∈M и x0∈CM.

  • Теорема 2 (О замкнутости теоретико-множественных операций над открытыми и замкнутыми множествами).

    1. Объединение конечного числа замкнутых множеств - замкнуто.
    2. Пересечение любого числа замкнутых множеств - замкнуто.
    3. Объединение любого количества открытых множеств есть множество открытое.
    4. Пересечение конечного числа открытых множеств есть множество открытое.

    1. Пусть множество причём ∀Mi замкнуты. Покажем, что множество M замкнуто. Рассмотрим m0 - произвольную предельную точку множества M. Она может принадлежать множеству M, а может и не принадлежать. Но в любой окрестности точки m0 содержится бесконечное множество точек из множества M. Так как множество есть объединение конечного числа множеств Mi, то, в соответствии с принципом Вейерштрасса, это бесконечное множество точек входит в какое-то из множеств Mi. Но это означает, что точка m0 есть предельная точка этого множества Mi. Но множество Mi замкнуто, то есть содержит в себе все свои предельные точки, то есть m0∈Mi. Но точка m0∈M, то есть множество M содержит в себе все свои предельные точки, то есть оно замкнуто.

    2. Пусть множество причём все множества M замкнуты. Покажем, что множество M замкнуто. Так как множество то любая предельная точка из множества M принадлежит всем множествам Mi, но они все замкнуты, то есть множество M содержит все свои предельные точки, следовательно, множество M замкнуто.

    3. Пусть множество причём все множества Mi открыты. Тогда множества CMi замкнуты. По теореме Де Моргана Но по второй части теоремы множество замкнуто, а это значит, что множество M открыто.

    4. Пусть множество причём все множества Mi открыты, то есть множества CMi замкнуты. По теореме Де Моргана замкнуто, а это значит, что множество M открыто.

    (Комментарий.

    1. Все пространство Х и являются замкнутыми и открытыми множествами одновременно.

    2. Пересечение бесконечного числа открытых множеств может и не быть открыто. Рассмотрим, например, в пространстве R1 пересечение множеств . Результат пересечения - одноточечное множество {0} замкнуто, как любое множество, состоящее из конечного числа точек.

    3. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может и не быть замкнуто.)

    Примеры. 1. В пространстве R1 множество обладает следующими свойствами:

    • замкнутое, не плотное множество;
    • все точки изолированные, и, следовательно, внутренних точек нет;
    • точка 0∉A является точкой прикосновения этого множества;
    • множество ограничено;
    • диаметр множества d(A) = 1;
    • множеством внешних точек, то есть дополнением к множеству A, является множество

    2. Интервал (a,b) ∈R1 обладает следующими свойствами:

    • совершенное, открытое множество так как все его точки внутренние;
    • множество точек прикосновения отрезок [a,b];
    • изолированных точек нет;
    • множество (a,b) ограничено;
    • диаметр множества d(a,b) = b-a.
    • в любой окрестности точек есть точки, не принадлежащие множеству [a,b].

    Теорема 3 (О включении).

    Множество A состоит из предельных AП и изолированных АИ точек, причём предельные точки могут и не входить в множество. Но П∪АИ и эти множества не пересекаются.

    1. Пусть а ∈АП, то есть в любой её окрестности содержится бесконечное число точек из множества А, но А⊂В, то есть в любой её окрестности содержится бесконечное число точек из множества В, но В⊂, тогда и в этом случае а∈.

    2. Пусть а ∈АИ. Тогда а∈А⊂В⊂, тогда и этом случае а∈.

    Теорема 4 (Об объединении замыканий).

    1. Покажем, что Очевидно, что А⊂, В⊂, то есть но по теореме 2 объединение конечного числа замкнутых множеств - замкнуто, то есть множество А∪В замкнуто, а замыкание замкнутого множества есть замкнутое множество. Стало быть

    1. Покажем, что . Пусть множество С = и точка с∈, то есть или с∈СИ, или с∈СП. Если с∈СИ, то Если с∈СП, то в любой её окрестности содержится бесконечное число точек из множеств А или В, то есть бесконечное число точек из множества стало быть,

    Примеры.1. Показать, что метрическое пространство сепарабельно, если из любой последовательности его точек можно выделить фундаментальную подпоследовательность.

    Зафиксируем ε>0 и возьмём любую точку x1∈X. Точку x2∈X выберем так, чтобы ρ(x1,x2)≥ε. И так далее по правилу ρ(xn,xn+1)≥ε. Если этот процесс не закончится, то из получившейся последовательности точек нельзя выделить фундаментальную подпоследовательность, что противоречит условию. Поэтому процесс должен закончиться и после конечного числа шагов мы покроем пространство X конечным числом открытых шаров радиуса ε>0. Взяв рассмотрим множество, состоящее из центров соответствующих наров при каждом n от 1 до бесконечности. Это и будет счётный скелет.

    2. Пусть Х - дискретное метрическое пространство с метрикой Последовательность {xn}∈X будет фундаментальной и сходящейся в X, если она стационарна, пространство Х является полным пространством, так как любая фундаментальная последовательность сходится. Единственным множеством, всюду плотным в Х является множество А = Х.

    предыдущая главасодержаниеследующая глава











  • © MATHEMLIB.RU, 2001-2021
    При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
    http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
    Рейтинг@Mail.ru
    Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
    1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь