НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

1.4.5. Сравнение метрик (норм)

Пусть на носителе метрического пространства X заданы две метрики ρ1 и ρ2.

Определение 1. Метрика (норма) ρ1 сильнее, чем метрика (норма) ρ2, если из сходимости последовательности {xn(t)} по метрике ρ1 следует её сходимость по метрике ρ2, но существует хоть одна последовательность, которая сходится по метрике ρ2, но не сходится по метрике ρ1.

Определение 2. Две метрики (нормы) ρ1 и ρ2 эквивалентны, если из сходимости последовательности {xn(t)} по метрике ρ1 следует её сходимость по метрике ρ2 и наоборот.

Определение 2*. Две метрики (нормы) ρ1 и ρ2 эквивалентны, если существуют такие α,β>0: αρ2≤ρ1≤βρ2 или αρ1≤ρ2≤βρ1.

Теорема 1. В любых конечномерных пространствах все метрики (нормы) эквивалентны.

Рассмотрим нормированное пространство (X,||x||), dim(X,||x||) = n, система векторов образует базис в нём, то есть ∀x∈X Эвклидова норма а - ещё одна норма в этом пространстве. Оценим её. Обозначив получим ||x||≤β||x||э. Покажем, что ||x||э в свою очередь подчинена ||x||. Рассмотрим функцию n переменных на сфере ||x||э = 1. Она непрерывна, так как и стремится к нулю при (ξii)→0. Единичная сфера - замкнутое ограниченное множество, поэтому на ней, в соответствии с теоремой Вейерштрасса, функция достигает своих точных верхней и нижней граней. То есть на сфере ||x||э = 1 имеем

Пример. Доказать, что метрика ρС пространства С[0,1] сильнее метрики ρC1 пространства C1[0,1].

то есть ρC не слабее ρC1. Теперь укажем последовательность {xn(t)}, которая сходится по ρC1, но не сходится по ρC. Эта последовательность стандартный пробник функционального анализа, xn(t) = tn, yn(t) = 0. а то есть эта последовательность сходится по ρC1, но не сходится по ρC.

(Комментарий. В конечномерных пространствах все метрики (нормы) топологически эквивалентны в следующем смысле: для шара B(х0,R) радиусом R с центром в точке x0, построенного на основе одной из норм, можно построить вписанный в него и описанный вокруг него шары, построенные на основе другой нормы (разумеется, другого радиуса). В бесконечномерных пространствах это не так.)

Пример. Покажем, что чебышевская норма, по крайней мере, не слабее гёльдеровской, а дифференциальная не слабее чебышёвской.

но

(Комментарий. Будем говорить, что пространство X вложено в пространство Y, если все элементы пространства X принадлежат Y, то есть X⊂ Y, а норма пространства X не слабее нормы пространства Y. Взаимное соотношение между основными пространствами функций: Cn[a,b]⊂ C[a,b]⊂ L2[a,b], то есть самое "широкое" пространство - пространство суммируемых с квадратом функций L2[a,b], а самое "узкое" - пространство Cn[a,b]. В математике используются не только эти, наиболее употребительные, но и другие типы пространств, которые могут быть шире или уже рассмотренных пространств, а могут занимать и некоторое промежуточное положение.)

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь