НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

1.4.4. Сходимость и полнота в метрических пространствах

Определение 1.Последовательность точек xn метрического пространства сходится по метрике ρ к точке x, если числовая последовательность ρ(xn,x)|n→∞→0, то есть ∀ε&362;0 ∃N=N(ε):(n>N⇒ρ(xn,x)<ε).

(Комментарий. Обозначение используется обычное: {xn}→x. Таким образом, в метрических пространствах можно использовать теорию числовых последовательностей с естественной метрикой числовой оси ρ(x,y) = |x-y|. Например:)

Теорема 1. Последовательность точек метрического пространства может иметь только один предел.

Пусть последовательность {xn} имеет два предела, то есть ρ(xn,a)|n→∞→0 и ρ(xn,b)|n→∞→0. Тогда в неравенстве треугольника для точек a и b, где a ≠b, ρ(a,b) ≤ρ(a,xn)+ρ(b,xn). Правая часть стремится к нулю, а левая часть постоянна и отлична от нуля.

Определение 2. Сходимость по норме (метрике) пространства C[a,b] называется равномерной сходимостью. Сходимость по (метрике) норме пространства L2[a,b] называется сходимостью в среднем.

Определение 3. Последовательность точек x1, x2, x3,... пространства (Х,ρ) называется фундаментальной, если для любого числа ε>0 найдется такое число n0, что для всех n, m > n0 выполняется неравенство ρ(xm, xn)<ε.

(Комментарий. Ясно, что всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной.)

Определение 4. Метрическое пространство, в котором всякая фундаментальная последовательность сходится, называется полным.

(Комментарий. Все стандартные метрические пространства, кроме Cp[a,b], полны, а так как они ещё и нормированы, то все стандартные метрические пространства, кроме Cp[a,b], являются банаховыми.)

Пример 1. Покажем полноту пространства C[a,b].

То, что это метрическое пространство, следует из того, что ρ = max|f-g| = max|(f-φ)+(φ-g)|≤max|f-g|+max|φ-g|. Пусть по метрике пространства C последовательность {fn(t)}→f(t), то есть ∃N=N(ε):∀n>N max|fn(t)-f(t)|<ε. Но тогда это условие выполняется и для всех других fn(t), t∈[a,b], то есть {fn(t)}→f(t) равномерно (номер N(ε) обеспечивает сходимость для всех fn(t) сразу). Согласно теореме Вейерштрасса предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций есть функция непрерывная, то есть функция fn(t) непрерывна, то есть f(t)∈ C[a,b] и пространство C[a,b] полно.

Теорема 2. Всякое замкнутое подпространство F⊂X полного метрического пространства (X,ρ) является полным пространством.

Пусть последовательность точек xn∈ F фундаментальна в пространстве (F,ρ). Тогда она будет фундаментальной и в пространстве (X,ρ). А поскольку оно полное, то эта последовательность сходится, . Поскольку множество F замкнуто, то точка x0∈ F предельная для множества F, что и доказывает полноту пространства F.

(Комментарий. Тот факт, что в полных пространствах понятия замкнутости и полноты для подпространств совпадают, очень важен в приложениях. Однако, надо следить за полнотой исходного пространства.)

Примеры.1. Рассмотрим пространство (X,ρ), где X=(0,1), с метрикой ρ(x1,x2) = |x1-x2|. Последовательность фундаментальная, так как , при n,m →∞, но эта последовательность не сходится ни к одному элементу пространства (X,ρ), так как элемент, к которому она сходится, x = 0 не принадлежит пространству X.

2. Такой же пример даёт множество рациональных чисел, рассматриваемое как подмножество числовой оси R1. Последовательность Бернулли , но числа e среди рациональных чисел нет.

3. Рассмотрим множество X=(0,1]. Оно, очевидно, не замкнуто и не полно. Пусть . Это множество не замкнуто, хотя состоит из бесконечного числа замкнутых множеств, так как не любая последовательность из этого множества сходится к пределу, ему принадлежащему. Но оно не полно, так как предел этой последовательности равен нулю, которого нет в множестве X.

4. Покажем неполноту пространства Cp[a,b] при p = 1.

1. Сначала покажем, что это метрическое пространство. Ясно, что . Покажем, что ρ(f,g)=0 ⇔ f=g.

Пусть при каком-то t0 f(t0)-g(t0) ≠0. Тогда в силу непрерывности эта ситуация должна сохраниться и в δ - окрестности точки t0, то есть

2. Проверим третью аксиому:

3. Проверим полноту. Пусть последовательность {xn(t)} →x(t), то есть ∀ε>0∃N=N(ε):(n>N⇒ρ(xn,x)<ε), t∈[1,-1], где Выберем как показано на рисунке. Тогда . На участке вне сегмента функции совпадают и равны единице, то есть . Таким образом, последовательность {xn(t)} фундаментальна. Ясно, что её пределом будет функция В самом деле, то есть последовательность {xn(t)}→x(t), но функция x(t) разрывна,x(t)∉C1[1,-1]. Это и означает неполноту пространства C1[a,b].


(Комментарий. Можно ли пополнить данное метрическое пространство или, более широко, можно ли пополнить любое метрическое пространство? Принципиальный ответ - да. Но для этого иногда нужно идти на коренной пересмотр ситуации. В частности, пространство функций, интегрируемых по Риману, пополнить невозможно, поэтому для того, чтобы сделать пространство Cp[a,b] полным, надо менять процедуру интегрирования. Позже мы построим интеграл Лебега и убедимся, что пространство функций, интегрируемых по Лебегу, уже полно.)

Примеры.1. Верно ли, что последовательность {xn(t)}→0, если в C[0,1] и C1[0,1]?

В пространстве C[0,1] . В пространстве C1[0,1] . Тогда

2. Верно ли, что последовательность {xn(t)}→0, если в пространстве C1[0,1]?

3. Показать полноту дискретного метрического пространства.

В дискретном метрическом пространстве все точки изолированные, поэтому фундаментальной последовательностью может быть только стационарная последовательность, которая всегда сходится.

4. Найти предел последовательности в пространстве C[0,2], если он существует.

Необходимым условием сходимости последовательности в пространстве C[a,b] является существование предела xn при каждом фиксированном t∈[a,b]. Заданная последовательность при заданном t сходится к функции a(t)=t. Данная функция непрерывна.

Проверим, сходится ли последовательность xn к функции a(t) по норме пространства C[a,b], т.е. равномерно. Вычислим ||xn-a||. По определению нормы: Вычислим максимум функции на отрезке [0,2]. Для этого вычислим критические точки: Таким образом, точками возможного экстремума являются точки t1,t2. Поскольку t2 ∉[0,2], то остается лишь точка t1. Вычислим также значение функции на концах отрезка: То есть Это означает, что последовательность xn(t) в пространстве C[0,2] сходится к функции a(t)=t.

5. Найти предел последовательности xn(t) = tn-t2n в пространстве C[0,1], если он существует.

Последовательность xn(t)|n →∞ →0. Вычислим Так как (tn-t2n)' = ntn-1-2nt2n-1 = ntn-1(1-2tn), то ntn-1(1-2tn) = 0, то есть Точкой, подозрительной на экстремум, является и точка t3 = 1. Непосредственной проверкой убеждаемся, что максимум достигается в точке Поэтому Значит, последовательность xn(t) = tn-t2n в пространстве C[0,1] не сходится.

6. Сходится ли последовательность в пространстве l3?

Необходимым условием сходимости последовательности в пространстве lp, p≥1 является наличие покоординатного предела. Выпишем несколько членов последовательности: Ясно, что последовательность xn покоординатно сходится к точке Заметим, что a∈l3, так как Покажем, что последовательность xn сходится к точке a по норме пространства l3:

при n→∞.

Следовательно,

7. Сходится ли последовательность в пространстве l1?

Очевидно, что точка a = (1,1,...,1,...) является покоординатным пределом последовательности, но a∉l1, так как ряд, составленный из единиц, не является сходящимся. Следовательно, последовательность xn не имеет предела.

8. Показать, что пространство Rnp, p≥1, полное.

Пусть последовательность фундаментальна в Rnp. Тогда Отсюда следует покоординатная сходимость |xin-xim|n,m→∞→0 и, следовательно, фундаментальность числовых последовательностей Но пространство действительных чисел полное и последовательности сходятся. Следовательно, сходится и последовательность

9. Дана последовательность

К какой последовательности она сходится покоординатно? Сходится ли она к тому же пределу в метриках пространств l2, l1, l?

Ясно, что покоординатно последовательность {xn} сходится к нулю. В соответствующих метриках она ведет себя так:


(Комментарий. Из предыдущего примера не следует, что всегда из покоординатной сходимости следует сходимость по метрике соответствующего пространства.)

10. Дана последовательность {xn}:x1 = {1,1,...,1,...}, x2 = {0,1,...},..., xn = {0,0,...,0,1,...} Ясно, что покоординатно последовательность {xn} сходится к нулю. Однако в пространстве l: ρ(xn,0)=sup{1,1,...}=1≠0

11. Множество всех многочленов в пространстве C[a,b] не является замкнутым, так как, например, функцию можно приблизить частичными суммами ряда Тейлора, которые являются алгебраическими многочленами. Следовательно, множество всех многочленов в пространстве не содержит всех предельных точек, и, значит, оно не является замкнутым.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru