НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

1.4.3. Стандартные метрические пространства

  1. Rnp - n-мерное арифметическое пространство с радикальной метрикой. При p = 1 (проверка неравенства треугольника: |xi-yi|=|(xi-zi)+(zi-yi)|≤|xi-zi|+|zi-yi|.) При p = 2 метрику называют эвклидовой, а пространство Rn2 - арифметическим n-мерным пространством. Это пространство в линейной алгебре обозначается Rn.
  2. Rn - n-мерное арифметическое пространство с супремальной метрикой.
  3. lp - пространство ограниченных последовательностей с радикальной метрикой . При p = 2 это такие последовательности, сумма квадратов элементов которых конечна (то есть ряд сходится). Эту сумму квадратов, т.е. сумму ряда, назовем квадратом длины вектора. Операции сложения и умножения на число определим как для конечномерных векторов-столбцов, то есть поэлементно (координатное гильбертово пространство).
  4. l или l, или m - пространство ограниченных последовательностей с супремальной метрикой.
  5. Cp[a,b] - пространство непрерывных функций с радикальной метрикой. Его пополнение - Lp[a,b] - лебегово пространство. Метрика пространства Лебега При p = 2 пространство Lp[a,b] - гильбертово и обозначается как H2.
  6. C[a,b] - пространство непрерывных функций с супремальной метрикой (чебышевское).
  7. Cn[a,b], или C(n)[a,b] - пространство раз непрерывно дифференцируемых функций с супремальной метрикой. Такая метрика называется дифференциальной и вычисляется по формуле
  8. Cnp[a,b] - пространства непрерывно дифференцируемых функций с радикальной метрикой. Их пополнение Wnp[a,b] - пространства Соболева. Метрика пространств Соболева При p = 2 пространство Wn2[a,b] гильбертово и обозначается как Hn.

Пример 1. На плоскости R2 для точек A(x1, y1) и B(x2, y2) определим расстояние тремя различными способами и покажем, что введенные расстояния являются метриками, то есть проверим выполнимость аксиом.

1.Метрика . Это евклидова метрика при p = 2

Первые аксиомы очевидны. Проверим третью аксиому. Рассмотрим точки A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3) докажем следующее неравенство:


Возведем это неравенство в квадрат:


Так как (x3-x1)2≤(x3-x2)2+(x2-x1)2 и (y3-y1)2≤(y3-y2)2+(y2-y1)2 (поскольку (b-a)2)≤b2+a2) и выражение неотрицательно, то неравенство является верным.

2. Метрика ρ2(A,B) = max{|y2-y1|, |x2-x1|}. Это двумерное арифметическое пространство с супремальной метрикой. Первые аксиомы очевидны. Проверим третью аксиому.

Рассмотрим точки A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3) докажем следующее неравенство: ρ2(A,C)≤ρ2(A,B)+ρ2(C,B)

|y1-y2|≤|y3-y1|+|y3-y2|≤ max{|y3-y1|, |x3-x1|}+max{|y3-y2|, |x3-x2|},

|x1-x2|≤|x3-x1|+|x3-x2|≤ max{|y3-y1|, |x3-x1|}+max{|y3-y2|, |x3-x2|}.

Тогда и

max{|y2-y1|, |x2-x1|}≤max{|y3-y1|, |x3-x1|}+max{|y3-y2|, |x3-x2|}.

3. Метрика ρ3(A,B) = |x2-x1|+|y2-y1|. Это двумерное арифметическое пространство с радикальной метрикой при p = 1. Такую метрику называют манхеттенской. Кратчайшее расстояние между точками A(x1,y1) и B(x2,y2) будет определяться формулой ρ3(A,B) = |x2-x1|+|y2-y1|. Первые аксиомы очевидны. Проверим третью аксиому. Рассмотрим точки A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3). Неравенство |x3-x1|+|y3-y1|≤|x3-x2|+|x2-x1|+|y3-y2|+|y2-y1| очевидно.

(Комментарий. 1. Понятие пополнения употреблено впрок и будет определено позднее.

2. Любое нормированное пространство является метрическим с метрикой ρ = ||x-y||. Выполнение первых аксиом очевидно. Третья выполняется в силу ||x-y||=||(x-z)+(z-y)||≤||x-z||+||z-y||. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть метрические пространства, вообще говоря, не являются нормированными. Но если потребовать, чтобы метрическое пространство обладало инвариантностью относительно сдвигов, то есть ρ(x+z,y+z) = ρ(x,y) и однородностью относительно растяжений, то есть ρ(αx,αy) = |α|ρ(x,y), то тогда верно и обратное, и норма элемента есть метрика, второй элемент которой есть ноль.

Для стандартных метрических пространств это так, так что все вышеприведённые примеры являются одновременно и примерами стандартных норм с геометрией, отличной от эвклидовой. Единичные шары в этих метриках изображены в примере 3.)

Пример 2. Покажем, что ρ = arctg|x-y| является метрикой. Выполнение первых двух аксиом метрики очевидно. Чтобы проверить третью, то есть arctg|x-z+z-y|≤arctg|x-z|+arctg|z-y|, докажем, что для любых α,β ≥0имеет место неравенство arctg(α+β)≤arctgα+arctgβ.

Для этого зафиксируем β и рассмотрим функцию f(α) = arctgα+arctgβ-arctg(α+β). Так как f(0) = 0, а f'(α)>0, то f(α) - возрастающая функция. Однако метрика p = arctg|x-y| при p = 0 не будет нормой, так как arctgλx≠|λ|arctgx

Пример 3. Рассмотрим пространство R2p. Положив y = 0, а ρ = 1, мы получим единичную сферу в пространстве R2p.

При p = 1 уравнение этой сферы имеет вид ||x||1 = |x|+|y| = 1, и такая метрика называется октаэдрической, потому что единичной сферой в трёхмерном случае ||x||1 = |x|+|y|+|z| = 1 будет октаэдр.

При p = 2 уравнение этой сферы имеет вид и такая метрика называется евклидовой (сферической), потому что единичной сферой в трёхмерном случае будет обычная сфера.

Чебышёвская (кубическая) метрика: ||x|| = max{|x|,|y|}, потому что единичной сферой в трёхмерном случае ||x|| = max{|x|,|y|,|z|} = 1 будет куб.

На рисунке: 1 - единичная сфера с чебышёвской (кубической) метрикой; 2 - единичная сфера с евклидовой (сферической) метрикой; 3 - единичная сфера с октаэдрической метрикой. Случай p>2 изображен пунктиром. При p→∞ единичная сфера с гёльдеровской группой метрик стремится к чебышёвской.


Примеры.

1. Пространство изолированных точек (дискретное пространство): Здесь X - любое непустое множество. Первые две аксиомы очевидны. Проверим третью.

Пусть неверно, что ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(z,y). Тогда ρ(x,y) = 1.⇒x ≠y. Но тогда ρ(x,z)+ρ(z,y) = 0, то есть x=y.

2. Ограниченные последовательности с метрикой Проверим третью аксиому.

Рассмотрим возрастающую функцию Так как |α+β|≤|α|+|β|, то φ(|α+β|)≤φ(|α|)+φ(|β|), то есть Пусть α = xi-zi, β = zi-yi, тогда α+β = xi-yi. Теперь или ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(z,y).

(Комментарий. Пусть ρ(x,y) - метрика на носителе X. Тогда - тоже метрика на носителе X. Это позволяет дать следующее определение: )

Определение. Пусть {(X11), (X22),... (Xnn)} - последовательность метрических пространств. Прямым (декартовым) произведением этих метрических пространств называется пара где а

3. Покажем, что пара (N,ρ) - метрическое пространство, если на множестве натуральных чисел n,m ∈N метрика задана так: Неравенство треугольника для несовпадающих точек m,n,p очевидно: .

В этой метрике при m<n1<n2 ρ(m, n1)>ρ(m, n2) то есть натуральные числа, чем дальше они расположены на числовой оси, тем ближе по метрике ρ.

4.lp - пространство ограниченных последовательностей с радикальной метрикой при p≠2 не эвклидово.

Пусть x = {1,1,0,...}, y = {1,-1,0,...}.


Ясно, что равенство параллелограмма не выполнено при p≠2.

5. Покажем, что пространство C[0,1] не гильбертово.

Пространство C[0,1] полное нормированное пространство, то есть банахово. (Полноту покажем в следующем пункте.) Уже отмечалось, что норма порождается скалярным произведением, если и только если выполняется равенство параллелограмма ||x+y||2+||x-y||2 = 2(||x||2+||y||2). Пусть x(t) = 1, y(t) = t. Тогда, вычисляя норму в пространстве C[0,1], сразу получим ||t+1||2+||t-1||2 = 22+12 ≠2(12+12).

6. Будет ли нормированным пространством линейное пространство непрерывно дифференцируемых функций, если на нём в качестве нормы использовать норму пространства непрерывных функций C[0,1]?

Да. Проверим аксиоматику:

1)||x(t)||[a,b] = max t∈[a,b]|x(t)|≥0, причём ||x(t)||[a,b] = max|x(t)| = 0⇔x(t)=0 ∀ t∈[a,b],

2)||λx(t)||[a,b] = max|λx(t)| = max(|λ||x(t)|) = |λ|max||x(t)||[a,b] = |λ|||x(t)||[a,b],

3)||x(t)+y(t)||t∈[a,b] = maxt∈[a,b]|x(t)+y(t)|≤ maxt∈[a,b](|x(t)|+|y(t)|)≤ maxt∈[a,b]|x(t)|+maxt∈[a,b]|y(t)| = ||x(t)||t∈[a,b]+||y(t)||t∈[a,b].

7. Будет ли нормированным пространством линейное пространство непрерывно дифференцируемых функций, если на нём в качестве нормы использовать норму ||x(t)||t∈[a,b] = maxt∈[a,b]|x'(t)|?

Нет, так как не выполняется первая аксиома нормы: ||x(t)||t∈[a,b] = maxt∈[a,b]|x'(t)| = 0 ⇒x(t)=c, где с - произвольная константа.

8. Доказать, что подпространство B1 банахова пространства B является банаховым пространством.

Пусть последовательность {xn} = {x1, x2, ..., xn, ...} фундаментальна в подпространстве B1 банахова пространства B (нормы, естественно, одинаковы). Эта последовательность является фундаментальной и в B, так как B1 - подпространство. Но B - банахово пространство, то есть {xn}→x∈B. Так как B1 - подпространство, то по определению подпространства оно замкнуто, следовательно, x∈B1. Таким образом, произвольная фундаментальная последовательность в подпространстве B1 сходится к x∈B1, а это и значит, что B1 банахово пространство по определению.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь