НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

1.3. Нормированные пространства

Заметим, что эвклидова норма обладает очевидными свойствами:

  1. ||x ≥0||, ||x||=0⇔ x=0;
  2. ||αx||=|α|*||x|| для любого x∈X и любого числа α;
  3. ||x+y||≤||x||+||y|| для любых x,y ∈ L (неравенство треугольника).

Неотрицательность и положительная однородность функционала очевидны. Покажем неравенство треугольника:

||x+y||2=(x+y,x+y)=||x||2+2Re(x,y)+||y||2ὄ||x||2+2*||x||*||y||+||y||2=(||x||+||y||)2.

Приняв эти свойства за аксиомы, получим следующее

Определение 1.Говорят, что на линейной структуре (L,F,+,*) задана норма его элементов, если указан функционал, ставящий в соответствие этим элементам действительное число, удовлетворяющее аксиомам 1-3. Пара (L,||x||) называется нормированным пространством.

Определение 2.Полное бесконечномерное нормированное пространство называется банаховым.

Пример. Доказать, что ∀ x,y ∈X, где X - нормированное пространство, выполняется неравенство ||x||≤max{||x+y||,||x-y||}.

 

 

(Комментарий. 1. Ясно, что любое эвклидово пространство нормировано. Обратное, вообще говоря, неверно нормированные пространства не обязаны быть эвклидовыми.

2. Обратим внимание, что и гильбертовы пространства как полные бесконечномерные эвклидовы пространства и банаховы пространства как полные бесконечномерные нормированные пространства построены на линейных структурах. Сейчас мы начнём строить пространства на произвольных носителях.)

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь