НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

1.2.4. Полнота системы векторов в смысле Стеклова

Теорема 1.(О линейной независимости ортогональных векторов). Пусть Тогда система векторов линейно независима.

Составим линейную комбинацию ∑λixi=0 и рассмотрим скалярное произведение (xj, ∑λixi)=λj||xj||2=0, но ||xj||2≠0⇒λj=0.

Определение 1.Система векторов или (ei,ej)=δij - символ Кронекера, называется ортонормированной (ОНС).

Определение 2.Для произвольного элемента x произвольного бесконечномерного евклидова пространства и произвольной ортонормированной системы элементов рядом Фурье элемента x по системе называется формально составленная бесконечная сумма (ряд) вида , в которой действительные числа λi называются коэффициентами Фурье элемента x по системе , где λi=(x,ei).

Комментарий. (Естественно, возникает вопрос о сходимости этого ряда. Для исследования этого вопроса зафиксируем произвольный номер n и выясним, что отличает n-ю частичную сумму ряда Фурье от любой другой линейной комбинации первых n элементов ортонормированной системы .)

Теорема 2.Для любого фиксированного номера n среди всех сумм вида наименьшее отклонение от элемента x по норме данного евклидова пространства имеет n-я частичная сумма ряда Фурье элементa

Учитывая ортонормированность системы и определение коэффициента Фурье, можно записать


Минимум этого выражения достигается при cii, так как при этом всегда неотрицательная первая сумма в правой части обращается в нуль, а остальные слагаемые от ci не зависят.

Пример. Рассмотрим тригонометрическую систему


в пространстве всех интегрируемых по Риману функций f(x) на сегменте [-π,π]. Легко проверить, что это ОНС, и тогда Ряд Фурье функции f(x) имеет вид где .

Комментарий. (Тригонометрический ряд Фурье обычно записывают в виде Тогда )

Произвольная ОНС в бесконечномерном эвклидовом пространстве без дополнительных предположений, вообще говоря, не является базисом этого пространства. На интуитивном уровне, не давая строгих определений, опишем суть дела. В произвольном бесконечномерном эвклидовом пространстве E рассмотрим ОНС , где (ei,ej)=δij - символ Кронекера. Пусть M - подпространство эвклидова пространства, а k=M - подпространство, ортогональное к M, такое, что эвклидово пространство E=M+M. Проекция вектора x∈E на подпространство M - вектор ∈M, где


Мы будем искать те значения коэффициентов разложения αk, при которых невязка (квадрат невязки) h2=||x-||2 будет минимальна:

h2=||x-||2=(x-,x-)=(x-∑αkek,x-∑αkek)=(x,x)-2∑αk(x,ek)+(∑αkek,∑αkek)=||x||2-2∑αk(x,ek)+∑αk2+∑(x,ek)2-∑(x,ek)2=||x||2+∑(αk-(x,ek))2-∑(x,ek)2.

Ясно, что это выражение будет принимать минимальное значение при αk=0, что тривиально, и при αk=(x,ek). Тогда ρmin=||x||2-∑αk2≥0. Отсюда получаем неравенство Бесселя ∑αk2&38804;||x||2. При ρ=0 ортонормированная система векторов (ОНС) называется полной ортонормированной системой в смысле Стеклова (ПОНС). Отсюда можно получить равенство Стеклова - Парсеваля ∑αk2=||x||2 - "теорему Пифагора" для полных в смысле Стеклова бесконечномерных эвклидовых пространств. Теперь следовало бы доказать, что для того, чтобы любой вектор пространства можно было единственным образом представить в виде сходящегося к нему ряда Фурье, необходимо и достаточно выполнение равенства Стеклова-Парсеваля. Система векторов ОНБ образует?система векторов Рассмотрим для частичную сумму ряда Тогда как хвост сходящегося ряда. Таким образом, система векторов является ПОНС и образует ОНБ.

Пример. Тригонометрическая система


в пространстве всех интегрируемых по Риману функций f(x) на сегменте [-π,π] является ПОНС и образует ОНБ.

Теорема 3 (Грамм Шмидт об ортогонализации).Пусть - линейно независимая система векторов эвклидова пространства E. Тогда в пространстве E существует ОНС .

Построим эту ортонормированную систему векторов. Обозначим Построим h2=x21e1 и выберем α1 так, чтобы e1 ⊥ h2, то есть (x21e1,e1)=(x2,e1)+α1(e1,e1)⇒α1=-(x2,e1). Тогда h2=x2-(x2,e1)e1. Построим вектор h3=x32e13e2 таким образом, чтобы скалярные произведения обратились в ноль: Тогда (h3,e1)=(x32e13e2,e1)=(x3,e1)+α2(e1,e1)+α3(e2,e1), а α2=-(x3,e1) и α3=-(x3,e2). Продолжая процедуру, получим Эту формулу следует доказать методом матиндукции.

Примеры. 1. Любую конечномерную ортогональную систему векторов можно дополнить до ОНБ. Дополнить совокупность векторов 1) a1={1,-1,1}, a2={-1,1,2} 2) , до ОНБ.

2. Найти ортонормированный базис линейной оболочки: x1={1,1,-1,-2}, x2={-2,1,5,11}, x3={0,3,3,7}, x4={3,-3,-3,-9}.

3. Ортогонализировать векторы {x1=1, x2=t, x3=t2} в пространстве E[0,1], показав их линейную независимость. (Совокупность функций {xk(t)}k=1,n - линейно независима ∀ t∈ [a,b], если и только если её вронскиан

не равен нулю.)

Комментарий. Ортогонализированная система векторов {xi}={1,t,t2,t3}, в E[-1,1] называется полиномами Лежандра: которые появляются при решении многих задач математической физики.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь